Tidsdomän, frekvensdomän och Fourieranalys

En radiosignal kan beskrivas i tid eller i frekvens. Här går du från Fourierserie och fyrkantvågens övertoner via FFT och fönsterfunktioner till effektspektraltäthet, spektrumanalysator och vattenfall.

Avancerad20 min läsningGranskad 25 oktober 2026

Innehåll

Två vyer av samma signal
Fourierserie: periodiska signaler
Fyrkantvågen
Fouriertransformen: signaler som inte upprepas
1. En rektangulär puls
2. Räkneregler
Diskret Fouriertransform och FFT
Spektralt läckage och fönsterfunktioner
Effektspektraltäthet och bandbredd
1. Bandbredd för verkliga signaler
Spektrumanalysator och vattenfall
Kontrollfrågor

En radiosignal kan beskrivas på två helt likvärdiga sätt: som en spänning som varierar med tiden, eller som en samling sinusvågor med bestämda frekvenser, amplituder och faser. Det första är vad ett oscilloskop visar, det andra vad en spektrumanalysator visar. Översättningen mellan de båda kallas Fourieranalys, och den ligger bakom filter, modulation, bandbredd, brusmätning, OFDM och programvaruradio. Den här artikeln bygger upp teorin från Fourierserien till FFT, fönsterfunktioner och effektspektraltäthet och visar hur den hänger ihop med det du ser på en spektrumanalysator och i ett vattenfall.

I korthet

Tidsdomän (spänning mot tid) och frekvensdomän (amplitud och fas mot frekvens) beskriver samma signal. Ingen information går förlorad vid övergången.
En periodisk signal är en summa av sinusvågor vid grundfrekvensen och dess heltalsmultiplar (övertoner): Fourierserien. En fyrkantvåg har bara udda övertoner med amplituden $4 A / (π n)$ , så nivån faller 20 dB per tiodubbling.
Fouriertransformen gäller även icke-periodiska signaler. Ju kortare en puls är i tiden, desto bredare blir spektrumet: bandbredden är ungefär $1 / τ$ .
FFT är en snabb algoritm för den diskreta Fouriertransformen. Frekvensupplösningen är $f_{s} / N$ , och ett ändligt tidsfönster ger spektralt läckage som fönsterfunktioner (Hann, Blackman m.fl.) dämpar, på bekostnad av upplösning.
Brus och modulerade signaler beskrivs med effektspektraltäthet (W/Hz). Det en spektrumanalysator visar beror på dess upplösningsbandbredd (RBW), och ett vattenfall visar hur spektrumet ändras med tiden.

Två vyer av samma signal#

Tänk på ett ackord på ett piano. Örat hör toner med olika tonhöjd, medan en mikrofon bara ser ett enda tryck som varierar med tiden. Båda beskriver samma ljud. Med radiosignaler är det likadant: tidsdomänen visar hur spänningen $x (t)$ ändras sekund för sekund, och frekvensdomänen visar vilka frekvenser signalen består av och hur kraftiga de är.

Frekvensdomänen är inte bara en bekväm vy. Den finns av ett fysikaliskt skäl. Kablar, filter, förstärkare i sitt linjära område och radiokanalen är linjära och tidsinvarianta system. En sinusvåg som går in i ett sådant system kommer ut som en sinusvåg med samma frekvens, men med ändrad amplitud och fas. Därför kan man ta isär en komplicerad signal i sinusvågor, låta systemet verka på varje för sig och lägga ihop resultatet. Det är grunden för att beskriva ett filter med ett frekvenssvar (se resonanskretsar och filter) och en kanal med dämpning och fasvridning per frekvens.

Fourierserie: periodiska signaler#

Joseph Fourier visade i början av 1800-talet att i stort sett varje periodisk funktion kan skrivas som en summa av sinusvågor. Har signalen perioden $T$ och grundfrekvensen $f_{0} = 1 / T$ blir det

x (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos 2 π n f_{0} t + b_{n} \sin 2 π n f_{0} t)

Termen $a_{0}$ är signalens medelvärde (likspänningskomponenten). Komponenten $n = 1$ kallas grundton och de följande $n = 2, 3, \dots$ övertoner (eng. harmonics) med frekvenserna $n f_{0}$ . Koefficienterna räknas ut ur signalen:

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos 2 π n f_{0} t d t b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin 2 π n f_{0} t d t

Amplituden hos överton $n$ är $A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}$ . Ritar man $A_{n}$ mot frekvens får man signalens linjespektrum: ett streck vid varje $n f_{0}$ . Ett kompaktare skrivsätt använder komplexa exponentialer, $x (t) = \sum_{n} c_{n} e^{j 2 π n f_{0} t}$ , där $| c_{n} | = A_{n} / 2$ . Fasen hos varje komponent finns i argumentet av $c_{n}$ och är lika viktig som amplituden för hur kurvformen ser ut, men de flesta spektrumvisningar redovisar bara amplituden.

Fyrkantvågen#

Fyrkantvågen är det mest användbara exemplet, eftersom den är enkel att räkna på och finns överallt: digitala klockor, pulsade sändare, switchade nätdelar och en nyckel som slås av och på. En fyrkantvåg med amplituden $\pm A$ och 50 % arbetscykel har serien

x (t) = \frac{4 A}{π} (\sin 2 π f_{0} t + \frac{1}{3} \sin 6 π f_{0} t + \frac{1}{5} \sin 10 π f_{0} t + \dots)

Det finns bara udda övertoner, och amplituden hos överton $n$ är $4 A / (π n)$ . Grundtonen är alltså $4 A / π \approx 1,27 A$ , större än själva fyrkantvågens amplitud, medan tredje övertonen är en tredjedel så stor. De jämna övertonerna saknas på grund av symmetrin: andra halvperioden är en spegelbild av den första, $x (t + T / 2) = - x (t)$ , och det gör att alla jämna koefficienter blir noll. Figur 1 visar hur kurvformen byggs upp när man lägger till fler och fler övertoner.

Figur 1. Fouriersyntes av en fyrkantvåg. Med bara grundtonen får man en sinusvåg. Varje ny överton gör kanterna brantare och taken planare. Översläng finns kvar vid kanterna oavsett hur många övertoner man tar med (Gibbs fenomen).

Kurvorna visar också Gibbs fenomen. Strax intill en kant överskjuter summan alltid det rätta värdet, och överslängen försvinner inte när antalet övertoner växer. Den blir bara smalare, och dess höjd närmar sig ungefär 9 % av hoppet.¹ Fyrkantvågen hoppar från $- A$ till $+ A$ , alltså $2 A$ , så toppen hamnar vid $1,18 A$ . Beräkningen bakom figuren ger $1,179 A$ både när man tar med övertoner upp till nr 49 och upp till nr 399. Samma effekt syns som ”ringning” efter en brant kant i ett filter eller en digitaliserad puls.

Figur 2 visar samma fyrkantvåg i båda domänerna. Spektrumet är en rad streck vid $f_{0}, 3 f_{0}, 5 f_{0}, \dots$ och nivån följer kurvan $1 / n$ . Mätt i decibel relativt grundtonen blir överton $n$ lika med $20 \log_{10} (1 / n)$ dB: tredje övertonen ligger 9,5 dB under, femte 14,0 dB, sjunde 16,9 dB. Nivån faller alltså 20 dB per tiodubbling av frekvensen. Hur man räknar med decibel finns i artikeln Decibel och logaritmiska enheter.

Figur 2. Samma signal i tidsdomän och frekvensdomän. Spektrumet består av udda övertoner vars nivå avtar med 20 dB per tiodubbling av frekvensen. Siffrorna över strecken är nivån i dB relativt grundtonen.

under grundtonen, och femte övertonen (240 MHz) $20 \log_{10} (1 / 5) \approx - 14,0$ dB under. Det är därför en kraftig klocka kan störa en känslig mottagare flera frekvenser upp i spektrumet. Verkliga flanker är inte oändligt branta: över ungefär $1 / (π t_{r})$ , där $t_{r}$ är stigtiden, faller övertonerna i stället 40 dB per tiodubbling, och det är därför mjukare flanker ger mindre störningar (se vad är EMC).

Den första integralen är $\frac{T}{2 π n} (1 - \cos π n)$ och den andra $\frac{T}{2 π n} (\cos π n - 1)$ , så skillnaden blir $\frac{T}{π n} (1 - \cos π n)$ och

b_{n} = \frac{2 A}{π n} (1 - \cos π n) = {\begin{matrix} \frac{4 A}{π n} & n udda \\ [4pt] 0 & n jämn \end{matrix}

Fouriertransformen: signaler som inte upprepas#

En enskild puls, ett kort meddelande eller en slumpmässig signal har ingen period. Man kan se det som gränsfallet när perioden blir oändligt lång: avståndet $f_{0}$ mellan strecken går mot noll, och linjespektrumet blir ett kontinuerligt spektrum $X (f)$ . Det definieras av Fouriertransformen

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

Den andra formeln är den inversa transformen: man kan gå tillbaka från spektrum till tidssignal utan förlust. Transformen är komplex, och $| X (f) |$ ger amplitudspektrumet.

En rektangulär puls#

En rektangulär puls med amplituden $A$ och längden $τ$ har spektrumet

X (f) = A τ \frac{\sin (π f τ)}{π f τ} = A τ s i n c (f τ)

Kurvan har en kraftig huvudlob runt noll, första nollstället vid $f = 1 / τ$ och därefter sidlober som avtar långsamt (med $1 / f$ ). Första sidloben ligger 13,3 dB under huvudloben. Halva effekten (−3 dB) nås vid ungefär $f = 0,44 / τ$ , så den fulla 3 dB-bandbredden är ungefär $0,89 / τ$ . Figur 3 visar tre pulser av olika längd. När pulsen blir hälften så lång dubbleras spektrumets bredd.

Figur 3. Bandbredd kontra pulslängd. Spektrumet av en rektangulär puls är en sinc-kurva med första nollstället vid 1/τ. Halverad pulslängd ger dubbel bandbredd. Spektrumen är normerade så att toppen är 1.

Det här är ett exempel på en allmän regel, tid–bandbreddsprodukten: en signal kan inte vara kort i tid och smal i frekvens samtidigt. Gör man en puls tio gånger kortare blir spektrumet tio gånger bredare. Matematiskt gäller att produkten av signalens och spektrumets standardavvikelser (mätta på $| x |^{2}$ och $| X |^{2}$ ) aldrig kan understiga $1 / (4 π)$ , och en gaussisk puls ligger precis på gränsen.

Räkneregler#

Några egenskaper hos Fouriertransformen återkommer hela tiden i radiotekniken (tabell 1). De förklarar varför en mixer flyttar ett spektrum, varför ett filter är en multiplikation i frekvensdomänen och varför ett kort mätfönster smetar ut spektrumet.

Tabell 1. Några egenskaper hos Fouriertransformen.

Operation i tidsdomänen	Följd i frekvensdomänen	Radioexempel
Tidsförskjutning med $t_{0}$	Amplitudspektrumet oförändrat, fasen vrids med $- 2 π f t_{0}$	Fördröjning i kabel
Multiplikation med $\cos 2 π f_{c} t$	Spektrumet flyttas till $\pm f_{c}$ , amplituden halveras	Modulation, blandare (AM)
Faltning med impulssvar $h (t)$	Multiplikation: $Y (f) = X (f) H (f)$	Filter, kanal
Multiplikation med fönster $w (t)$	Faltning: spektrumet ”smetas ut” av fönstrets spektrum	Mätning under begränsad tid
Tidsskalning $x (a t)$	Frekvensskalning, $\frac{1}{\| a \|} X (f / a)$	Kortare puls, bredare spektrum
Energi	Parsevals sats: $\int \| x \|^{2} d t = \int \| X \|^{2} d f$	Effekt kan mätas i båda domänerna

Diskret Fouriertransform och FFT#

Datorer, programvaruradio och digitala mätinstrument arbetar inte med kontinuerliga signaler utan med sampel: $N$ mätvärden $x [0], \dots, x [N - 1]$ tagna med samplingsfrekvensen $f_{s}$ (se IQ-data och sampling). Den diskreta Fouriertransformen (DFT) ger lika många frekvensvärden:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1

Värde nummer $k$ hör till frekvensen $f_{k} = k f_{s} / N$ . Avståndet mellan två närliggande frekvensfack (eng. bin) är därför

Δ f = \frac{f_{s}}{N} = \frac{1}{T_{o b s}}

där $T_{o b s} = N / f_{s}$ är den tid man observerat signalen. Det är en direkt följd av tid–bandbreddsprodukten: vill man skilja frekvenser som ligger 100 Hz från varandra måste man titta på signalen i minst ungefär 10 ms. För en reell signal innehåller de första $N / 2$ värdena all information, och de täcker frekvenserna 0 till $f_{s} / 2$ (Nyquistfrekvensen). Allt över $f_{s} / 2$ viks ner i det området (aliasing) om man inte filtrerat bort det före samplingen. Med komplexa IQ-sampel täcks hela området $- f_{s} / 2$ till $+ f_{s} / 2$ .

Att räkna ut DFT rakt av kräver ungefär $N^{2}$ komplexa multiplikationer. FFT (eng. fast Fourier transform) är en familj av algoritmer som ger exakt samma resultat med ungefär $(N / 2) \log_{2} N$ multiplikationer.² För $N = 4096$ är det 24 576 i stället för 16,8 miljoner, alltså omkring 680 gånger färre. Det är FFT som gör det möjligt att uppdatera ett spektrum många gånger per sekund i en liten dator, och därför ligger den i alla moderna spektrumvisningar.

och observationstiden $T_{o b s} = 4096 / (2,4 \cdot 10^{6}) \approx 1,71$ ms. Vill man urskilja signaler med 100 Hz avstånd behövs $N \geq f_{s} / 100 H z = 24 000$ . Närmaste tvåpotens är $N = 32 768$ , som ger $Δ f \approx 73,2$ Hz och $T_{o b s} \approx 13,7$ ms. Med Hann-fönster (se nedan) blir den effektiva upplösningen cirka $1,5 \cdot 73,2 \approx 110$ Hz.

Fyller man ut de $N$ sampeln med nollor före FFT (zero padding) får man fler punkter på kurvan och en jämnare, mer lättläst bild, men inte någon bättre upplösning. Upplösningen bestäms bara av hur länge man observerat signalen.

Spektralt läckage och fönsterfunktioner#

DFT:n förutsätter tyst att de $N$ sampeln är en period av en signal som upprepas i all oändlighet. Innehåller mätstycket ett helt antal perioder av en ton passar skarvarna ihop och tonen blir ett enda skarpt streck. Annars finns ett hopp mellan slutet och början av mätstycket, och hoppet ger ett spektrum som ser ut som sinc-kurvan ovan: energi läcker ut från tonen till alla andra frekvenser. Det är samma sak som att man multiplicerat den riktiga signalen med ett rektangulärt fönster, så att spektrumet faltats med fönstrets sinc-formade spektrum (tabell 1).

Botemedlet är att multiplicera mätstycket med en fönsterfunktion $w [n]$ som går mjukt mot noll i kanterna. Hoppet försvinner och sidloberna blir mycket lägre. Priset är att huvudloben blir bredare, så att man får sämre förmåga att skilja två närliggande toner. Figur 4 jämför tre fönster.

Figur 4. Fönsterfunktioner och deras frekvenssvar. Rektangulärt fönster ger smal huvudlob och höga sidlober. Hann och Blackman ger lägre sidlober till priset av bredare huvudlob. Frekvensaxeln är graderad i frekvensfack, där 1 fack är fs/N.

Tabell 2 sammanfattar egenskaperna för några vanliga fönster.³ Sidlobsnivån avgör hur mycket en stark signal läcker in i sina grannar. 3 dB-bredden och den ekvivalenta brusbandbredden (ENBW) anger hur bred huvudloben är, i antal frekvensfack. Scalloping-förlusten är det värsta felet i amplitudavläsning när tonen ligger mitt emellan två fack.

Tabell 2. Egenskaper hos några fönsterfunktioner (beräknade för periodiska fönster, N = 64).

Fönster	Högsta sidlob (dB)	3 dB-bredd (fack)	ENBW (fack)	Värsta scalloping (dB)
Rektangulärt (inget fönster)	−13,3	0,89	1,00	3,92
Hann	−31,5	1,45	1,50	1,42
Hamming	−42,5	1,31	1,36	1,75
Blackman	−58,1	1,66	1,73	1,10
Blackman–Harris (4 termer)	−92,0	1,91	2,00	0,83

Figur 5 visar vad det betyder i praktiken. Signalen innehåller en stark ton och en ton som är 60 dB svagare, 40 fack bort. Med rektangulärt fönster ligger den starkes sidlober på ungefär −42 dB vid det avståndet, alltså högre än den svaga tonen, som inte går att urskilja. Med Hann-fönstret sjunker sidloberna med 18 dB per oktav och ligger långt under −90 dB där, så den svaga tonen syns klart.

Figur 5. Spektralt läckage. Båda spektra kommer från samma 1 024 sampel. Med rektangulärt fönster döljer den starka tonens sidlober en ton som är 60 dB svagare. Med Hann-fönster syns den. Nivåerna är i dB relativt den starka tonen.

Vilket fönster man ska välja beror på uppgiften:

Hann är en bra allmän standard: hyfsat låga sidlober och måttlig breddning.
Blackman eller Blackman–Harris när en mycket stark signal ligger nära en mycket svag och dynamiken är avgörande.
Flat-top-fönster när tonens amplitud ska mätas noggrant, eftersom de ger nästan samma avläsning oavsett var tonen hamnar mellan facken, till priset av mycket bred huvudlob.
Rektangulärt fönster när signalen verkligen är periodisk i mätstycket, eller när det är ett transient som börjar och slutar inom fönstret.

Effektspektraltäthet och bandbredd#

Ett linjespektrum passar periodiska signaler. Brus, tal och digitalt modulerade signaler är i stället slumpmässiga och har ett kontinuerligt spektrum. De beskrivs med effektspektraltäthet (eng. power spectral density, PSD) $S_{x} (f)$ , med enheten watt per hertz (W/Hz), eller i radiotekniken oftast dBm/Hz. Effekten i ett frekvensband är integralen av tätheten:

P = \int_{f_{1}}^{f_{2}} S_{x} (f) d f

Wiener–Khinchin-satsen säger att effektspektraltätheten är Fouriertransformen av signalens autokorrelation. Termiskt brus är vitt, alltså lika kraftigt vid alla frekvenser, med $S = k T$ , vilket vid 290 K är −174 dBm/Hz (se brus och signal-brusförhållande). I praktiken skattar man tätheten genom att ta FFT av fönstrade segment och beräkna $| X [k] |^{2}$ med rätt normering. Ett enda sådant periodogram varierar mycket från fack till fack, och i Welch-metoden delar man därför upp mätningen i många överlappande segment och medelvärdesbildar. Brusets slumpvariation minskar då ungefär med kvadratroten av antalet segment.

Det en spektrumanalysator visar vid en given frekvens är effekten som passerat ett smalt filter, och filtrets bredd kallas upplösningsbandbredd (RBW, eng. resolution bandwidth). Brusets effekt i filtret är $S \cdot E N B W$ , så brusgolvet på skärmen följer RBW, medan en enskild sinuston inte gör det.

Med RBW = 100 Hz är brusgolvet 10 dB lägre, −148 dBm. En sinuston på −120 dBm ändrar inte nivå, men syns 10 dB tydligare ovanför bruset. Det går inte att få något utan kostnad, för smalare RBW gör mätningen långsammare (se nedan).

Ett vanligt fel är att jämföra brusgolv mellan instrument utan att ange RBW. Dessutom ger logaritmisk medelvärdesbildning av brus en avläsning som är ungefär 2,5 dB lägre än brusets verkliga medeleffekt, vilket många instrument kompenserar för.

Bandbredd för verkliga signaler#

Vad menas då med en signals bandbredd? Matematiskt är en tidsbegränsad signal aldrig strikt bandbegränsad, så man behöver en definition. ITU:s radioreglemente definierar upptagen bandbredd som bredden på det band som innehåller 99 % av den utsända medeleffekten, med 0,5 % utanför varje bandkant.⁴ Nödvändig bandbredd är den minsta bredd som behövs för att överföra informationen med önskad kvalitet. För analoga modulationsformer finns enkla tumregler som följer av Fouriertransformens regler (tabell 3).

Tabell 3. Bandbredd för några modulationsformer (tumregler).

Modulation	Tumregel	Exempel
AM med dubbla sidband	$B \approx 2 f_{m}$	Tal upp till 3 kHz: 6 kHz
Enkelt sidband (SSB)	$B \approx f_{m, m a x} - f_{m, m i n}$	0,3–2,7 kHz: 2,4 kHz
FM (Carsons regel)	$B \approx 2 (Δ f + f_{m})$	Frekvenssvängning ±2,5 kHz, tal upp till 3 kHz: 11 kHz. Rundradio ±75 kHz och 15 kHz: 180 kHz
Digital, symbolhastighet $R_{s}$	$B$ i storleksordningen $R_{s}$ (beroende på pulsformning)	12 500 symboler/s: ca 12,5 kHz

Här är $f_{m}$ den högsta frekvensen i modulationssignalen och $Δ f$ frekvenssvängningen. Hur modulationen formar spektrumet, och hur mycket information en kanal kan bära, behandlas i Kanalkapacitet och Digital modulation.

Spektrumanalysator och vattenfall#

En svepande spektrumanalysator fungerar som en mottagare vars avstämning sveps över det valda frekvensområdet (spannet). Signalen blandas ned, passerar ett smalt mellanfrekvensfilter med bredden RBW, och den detekterade nivån ritas ut mot frekvens. Det går inte att svepa hur fort som helst, eftersom filtret behöver tid på sig att svänga in. Tumregeln är

t_{svep} \approx k \frac{Span}{{RBW}^{2}}

där $k$ är ungefär 2–3 för filter med nästan gaussisk form. Halverar man RBW blir svepet fyra gånger långsammare.

FFT-baserade analysatorer och programvaruradio mäter i stället hela spannet på en gång, så att inget går förlorat så länge samplingen är kontinuerlig. Spannet är då ungefär lika med samplingsfrekvensen $f_{s}$ för komplexa IQ-sampel (hälften för reella sampel), och upplösningen är $f_{s} / N$ gånger fönstrets ENBW. De ger också det som en sveptyp inte kan: spektrum som uppdateras många gånger per sekund.

Ett vattenfall (eng. waterfall, spektrogram) staplar spektra efter varandra så att tiden löper längs en andra axel, och nivån visas som färg eller som höjd. Varje rad är en FFT av ett kort segment, en kortvarig Fouriertransform. Här gäller en avvägning med samma ursprung som tid–bandbreddsprodukten: långa segment ger fin frekvensupplösning men grov tidsupplösning, och tvärtom. Det går inte att få båda samtidigt. Figur 6 visar ett beräknat vattenfall där tre olika slags signaler syns på olika sätt.

Figur 6. Ett beräknat vattenfall. En stabil signal blir en lodrät linje (1), en signal som driver i frekvens blir en sned linje (2) och en kort bredbandig puls ett litet block som syns i bara ett par spektra (3). Varje spektrum är en FFT av 512 sampel med Hann-fönster.

Ett vattenfall är ett effektivt verktyg för att hitta och känna igen signaler: en bärvåg blir en lodrät linje, ett frekvenshoppande system blir ett mönster av korta streck och en pulsad störkälla ett regelbundet block. Radioamatörer använder det för att hitta svaga digitala signaler, och vid spektrumövervakning avslöjar det störkällor som är intermittenta eller rör sig i frekvens. Hur analysatorns ingångssteg tål starka signaler utan att skapa nya (intermodulation) finns i linjaritet och intermodulation, och tillsammans med fönstrets sidlober bestämmer det hur stor skillnad mellan starka och svaga signaler som går att mäta.

Kontrollfrågor#

En fyrkantvåg har frekvensen 2 kHz. Vilka frekvenser har de tre första komponenterna i dess spektrum?

Grundtonen är 2 kHz. Fyrkantvågen har bara udda övertoner, så nästa komponenter är $3 \cdot 2 = 6$ kHz och $5 \cdot 2 = 10$ kHz. Frekvenserna 4 kHz och 8 kHz saknas.

Hur många dB under grundtonen ligger fyrkantvågens sjunde överton?

Amplituden är en sjundedel av grundtonens, så nivån är $20 \log_{10} (1 / 7) \approx - 16,9$ dB relativt grundtonen.

En radarpuls är 4 µs lång. Vilken bandbredd (första nollstället) har den, och vad händer om den kortas till 1 µs?

Första nollstället ligger vid $1 / τ = 1 / (4 \cdot 10^{- 6}) = 250$ kHz. Vid 1 µs blir det 1 MHz, alltså fyra gånger så mycket. Den fulla 3 dB-bredden är ungefär $0,89 / τ \approx 222$ kHz respektive 890 kHz.

En FFT görs på 8 192 sampel med samplingsfrekvensen 48 kHz. Vilken är frekvensupplösningen och hur länge observeras signalen? Vilket

N

behövs för att få

Δ f \leq 1

Hz?

$Δ f = 48 000 / 8192 \approx 5,86$ Hz och observationstiden $8192 / 48 000 \approx 170,7$ ms. För $Δ f \leq 1$ Hz krävs $N \geq 48 000$ . Närmaste tvåpotens är $2^{16} = 65 536$ , som ger $Δ f \approx 0,73$ Hz och en observationstid på ungefär 1,37 s.

Varför läcker en ton som inte har ett helt antal perioder i mätstycket ut över hela spektrumet, och hur hjälper ett fönster?

DFT antar att mätstycket upprepas periodiskt. Om perioderna inte går jämnt upp uppstår ett hopp mellan slutet och början, och det hoppet innehåller energi vid alla frekvenser, vilket syns som sinc-formade sidlober kring tonen. Ett fönster som går mot noll vid kanterna tar bort hoppet och ger mycket lägre sidlober, men gör huvudloben bredare.

Du minskar RBW på en spektrumanalysator från 3 kHz till 300 Hz. Hur ändras brusgolvet, en ren sinuston och svepets längd?

Brusgolvet sjunker $10 \log_{10} (3000 / 300) = 10$ dB. Sinustonens nivå är oförändrad. Svepets längd ökar med faktorn $(3000 / 300)^{2} = 100$ .

Du vill se en signal som är 50 dB svagare än en stark signal 20 fack bort. Duger rektangulärt fönster? Jämför med Hann.

Nej. Rektangulärt fönster har sidlober som avtar ungefär som $1 / (π δ)$ där $δ$ är avståndet i fack, alltså omkring $- 36$ dB vid 20 fack. Det är högre än den svaga signalen, som därför döljs. Hann har första sidlob vid −31,5 dB nära huvudloben men avtar 18 dB per oktav och ligger vid 20 fack långt under −80 dB, så den svaga signalen syns.

Överslängen vid en diskontinuitet är ungefär 8,95 % av hoppets storlek. Se t.ex. Oppenheim, Willsky och Nawab, Signals and Systems. Siffran i texten är kontrollräknad med fyrkantvågens partialsumma. ↩
Cooley och Tukey, ”An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”, Mathematics of Computation 19 (1965). Antalet operationer beror på algoritmen och på hur man räknar; $(N / 2) \log_{2} N$ gäller radix-2. ↩
Värdena i tabell 2 är beräknade för periodiska fönster med $N = 64$ och en kraftigt nollutfylld FFT, och stämmer med standardlitteraturen (Harris, 1978) utom att decimalerna kan skilja sig åt med fönstrets exakta definition. Hamming-värdet gäller koefficienterna 0,54 och 0,46. ↩
ITU, Radioreglementet, definitionerna av nödvändig och upptagen bandbredd. Se även ITU-R SM.328. ↩
IEC/CISPR 16-1-1. Bandindelningen och mätbandbredderna är avsedda för mätmottagare för störningsmätning; kontrollera gällande utgåva och tillämplig produktstandard. ↩

Källor och vidare läsning

A. V. Oppenheim, R. W. Schafer (2010). Discrete-Time Signal Processing, 3:e upplagan (Pearson). Standardverk om DFT, FFT, fönsterfunktioner och spektralskattning.
A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab (1997). Signals and Systems, 2:a upplagan (Prentice Hall). Fourierserie, Fouriertransform, egenskaper och Gibbs fenomen.
F. J. Harris (1978). On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform, Proceedings of the IEEE, vol. 66, nr 1, s. 51–83. Klassisk genomgång och jämförelse av fönsterfunktioner.
J. W. Cooley, J. W. Tukey (1965). An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Mathematics of Computation, vol. 19, s. 297–301.
R. G. Lyons (2011). Understanding Digital Signal Processing, 3:e upplagan (Prentice Hall).
ITU. Radio Regulations (Radioreglementet), definitionerna av nödvändig och upptagen bandbredd. Gällande utgåva. Upptagen bandbredd definieras med 0,5 % av medeleffekten utanför vardera bandkanten, om inget annat anges.
ITU-R. Recommendation ITU-R SM.328: Spectra and bandwidth of emissions. Använd gällande version.
IEC/CISPR. CISPR 16-1-1: Specification for radio disturbance and immunity measuring apparatus and methods – Part 1-1: Measuring apparatus. Anger mätmottagarens bandbredder vid EMC-mätningar.

Läs vidare

Citera den här sidan

Använd gärna kunskapsbanken som källa i rapporter och uppsatser. Ange alltid datum, eftersom regler och tilldelningar ändras.

APA 7

SRFA Kunskapsbank. (2026). Tidsdomän, frekvensdomän och Fourieranalys. Sveriges Radiofrekvensallokering. https://srfa.se/kunskap/grunder/tid-och-frekvensdoman/

Harvard

Sveriges Radiofrekvensallokering (2026). Tidsdomän, frekvensdomän och Fourieranalys. SRFA Kunskapsbank. Tillgänglig: https://srfa.se/kunskap/grunder/tid-och-frekvensdoman/ (hämtad 24 oktober 2026).

Kunskapsbanken är en sammanställning för utbildning och referens. Den ersätter inte gällande föreskrifter och ger ingen rätt att sända. Kontrollera alltid aktuella villkor hos PTS.