I/Q-signaler, sampling och digital signalbehandling

Hur en radiosignal beskrivs med två tal, I och Q, varför det behövs, vad som händer när den samplas (vikning, undersampling, kvantiseringsbrus) och hur digital nedblandning, decimering, FIR-filter och FFT används i en programvarudefinierad radio.

Avancerad25 min läsningGranskad 25 oktober 2026

Innehåll

Reella och komplexa signaler
Så skapas I och Q
Amplitud, fas och frekvens
I/Q-obalans och likspänning
Sampling av reella och komplexa signaler
1. Vikning
Undersampling
ADC: upplösning, brus och dynamik
Decimering och FIR-filter
FFT i praktiken
Beräkna själv
Kontrollfrågor

Spänningen i en antenn är ett enda reellt tal som varierar med tiden. Så fort signalen ska behandlas digitalt, till exempel i en programvarudefinierad radio, är det ändå praktiskt att beskriva den med två tal i taget, I och Q, som tillsammans bildar ett komplext tal. Artikeln förklarar varför, hur I och Q bildas och vad som händer när de samplas: vikning, undersampling, kvantiseringsbrus, och hur digital nedblandning, decimering, FIR-filter och FFT används i praktiken. Den bygger på Tidsdomän och frekvensdomän och Digitalisering av ljud, där grunderna för sampling visas för reella ljudsignaler. Alla spektra och siffror i figurerna är beräknade i Python på simulerade signaler.

I korthet

En komplex signal $z = I + j Q$ består av två reella signaler. Den har ett ensidigt spektrum: positiva och negativa frekvenser är olika saker och visar om en signal ligger över eller under oscillatorn. En reell signal kan inte skilja dem åt.
I I/Q-mottagaren blandas signalen med både $\cos ω_{0} t$ och $- \sin ω_{0} t$ . I och Q ger tillsammans amplitud $| z |$ , fas $\arg z$ och frekvens (fasens ändring). Därför kan man demodulera AM, FM och digitala metoder med enkla beräkningar.
Fel i förstärkning ( $ε$ ) och fasvridning ( $φ$ ) mellan I och Q ger en spegelbild, med undertryckning ungefär $4 / (ε^{2} + φ^{2})$ . Med 1 procent och 1 grad blir den 40 dB.
Sampling med $f_{s}$ upprepar spektrumet var $f_{s}$ :e hertz. En reell signal rymmer bandet $0$ till $f_{s} / 2$ , en komplex bandet $- f_{s} / 2$ till $+ f_{s} / 2$ . Allt utanför viks in och går inte att skilja från riktiga signaler, så ett analogt filter måste ligga före ADC:n.
Undersampling utnyttjar vikningen med flit: ett smalt band högt upp samplas med en låg takt, så länge bandet ryms i en enda Nyquistzon. Det kräver ett bandpassfilter och mycket låg klockjitter.
Varje bit ger 6 dB. Brusgolvet per FFT-fack ligger $10 \log_{10} (N / 2)$ dB under det totala kvantiseringsbruset. Digital decimering kräver ett FIR-filter före nedsamplingen, med spärrbandet från utdatatakten minus bandbredden.

Reella och komplexa signaler#

En reell signal $x (t)$ har ett spektrum som är symmetriskt: för varje frekvens $+ f$ finns en spegelbild vid $- f$ med samma storlek. De negativa frekvenserna innehåller ingen ny information, men de gör att en reell signal inte kan avgöra om en ton ligger över eller under en referensfrekvens. Det är samma sak som spegelfrekvensen i en superheterodyn: en reell blandare ger samma resultat för två frekvenser som ligger lika långt från oscillatorn åt var sitt håll.

Figur 1 visar skillnaden. Överst finns en reell radiosignal med två toner, en vid $f_{0} + 3$ kHz och en 6 dB svagare vid $f_{0} - 5$ kHz, där $f_{0} = 100$ kHz. Efter en reell blandare med $\cos 2 π f_{0} t$ och ett lågpassfilter ligger tonerna vid $\pm 3$ och $\pm 5$ kHz, helt symmetriskt, och man kan inte längre se vilken som låg över och vilken som låg under $f_{0}$ . Efter en komplex blandare, där signalen multipliceras med $e^{- j 2 π f_{0} t}$ , blir resultatet ensidigt: tonerna ligger vid $+ 3$ kHz och $- 5$ kHz. Tecknet på frekvensen bevarar information om vilken sida om oscillatorn signalen låg.

Figur 1. Spektra beräknade med FFT för en signal med två toner vid f₀ + 3 kHz (0 dB) och f₀ − 5 kHz (−6 dB), f₀ = 100 kHz. A: den reella signalen. B: efter reell blandare (cos) och lågpassfilter, där de två tonerna inte kan skiljas från sina spegelbilder. C: efter komplex blandare (I/Q) och lågpassfilter, där tonerna hamnar på rätt sida om noll.

En komplex signal skrivs $z (t) = I (t) + j Q (t)$ . Delarna kallas I (eng. in-phase, i fas) och Q (eng. quadrature, i kvadratur, alltså 90° förskjuten). I och Q är verkliga spänningar i kretsen, men de kombineras matematiskt som real- och imaginärdel. En komplex ton med frekvensen $f$ är

z (t) = A e^{j (2 π f t + ϕ)} = A \cos (2 π f t + ϕ) + j A \sin (2 π f t + ϕ)

och har en enda spektrallinje, vid $+ f$ om $f$ är positiv och vid $- f$ om den är negativ. Beloppet $A = | z |$ är amplituden och $\arg z$ är fasen.

Funktionen $z (t)$ kallas den komplexa enveloppen eller basbandsekvivalenten. Om $Z (f)$ är spektrumet för $z$ blir spektrumet för $x$ lika med $\frac{1}{2} [Z (f - f_{0}) + Z^{*} (- f - f_{0})]$ : en kopia av $Z$ vid $+ f_{0}$ och en komplexkonjugerad spegelbild vid $- f_{0}$ . Eftersom $Z$ inte behöver vara symmetrisk innehåller kopian vid $+ f_{0}$ all information. $I$ och $Q$ varierar långsamt jämfört med $f_{0}$ , bara så snabbt som informationen kräver. Det är poängen med I/Q-beskrivningen: för en bärvåg på 100 MHz med 200 kHz bandbredd behövs bara 200 kS/s komplexa sampel, inte 200 MS/s.

Så skapas I och Q#

I en kvadraturmottagare delas signalen i två grenar (figur 2). I den ena blandas den med $\cos ω_{0} t$ och i den andra med $- \sin ω_{0} t$ , alltså samma oscillator fasvriden 90°. Lågpassfilter efter blandarna tar bort summatermen vid $2 f_{0}$ och störningar långt från $f_{0}$ . Det som finns kvar är I och Q, som samplas av två ADC:er. Blandarna är beskrivna i Blandare och frekvenssyntes.

Figur 2. Kvadraturmottagare. Samma lokaloscillator matar två blandare, den ena via ett 90°-steg. De två lågpassfiltren och ADC:erna ska vara så lika som möjligt, annars blir I och Q ojämna (se avsnittet om I/Q-obalans).

Samma beräkning kan göras i programvara: en direktsamplande SDR multiplicerar sina reella sampel med $\cos$ och $- \sin$ från en digital oscillator och filtrerar sedan (se SDR). Matematiken är densamma, men ett digitalt $- \sin$ har exakt rätt fas och exakt lika stor amplitud.

Amplitud, fas och frekvens#

Med $z = I + j Q$ finns allt i en enda punkt i I/Q-planet: avståndet från origo är amplituden $A = \sqrt{I^{2} + Q^{2}}$ och vinkeln är fasen $ϕ = a t a n 2 (Q, I)$ . En komplex ton med positiv frekvens roterar moturs i planet, en med negativ frekvens medurs, och frekvensen är rotationshastigheten (figur 3).

Figur 3. En komplex ton i I/Q-planet. Positiv frekvens roterar moturs och negativ medurs. Sampel nummer n ligger 45° efter sampel n − 1, så en ton på en åttondel av samplingstakten ger åtta punkter per varv. Till höger syns tidsförloppet för positiv frekvens: I = cos och Q = sin.

Därför blir demodulering enkel. Ur $z$ kan man räkna ut:

Signal	Så får man ut den ur $z$
AM (Amplitudmodulation)	Amplituden $\| z \|$ , minus likkomponenten
FM (Frekvensmodulation)	Fasens ändring: $f_{i n s t} [n] = \frac{f_{s}}{2 π} \arg (z [n] z^{*} [n - 1])$
SSB	Filtrera bort det ena sidbandet i $z$ och ta realdelen
Digital modulation (Digital modulation)	Själva punkten $(I, Q)$ i konstellationsdiagrammet, som är I/Q-planet

Formeln för FM kräver ingen faslåst slinga: produkten $z [n] z^{*} [n - 1]$ har fasen $ϕ [n] - ϕ [n - 1]$ , och dividerar man med $2 π$ och multiplicerar med $f_{s}$ får man frekvensen. Skulle fasen röra sig 0,5 radianer mellan två sampel med $f_{s} = 48$ kS/s är frekvensen $48 000 \cdot 0,5 / (2 π) = 3 820$ Hz. Samma I/Q-plan är det som ritas som konstellationsdiagram i Digital modulation, och det är också det som en I/Q-modulator i sändaren styr, fast åt andra hållet.

I/Q-obalans och likspänning#

Kvadraturmottagaren förutsätter att I- och Q-grenen är exakt lika: lika förstärkning och exakt 90° mellan oscillatorsignalerna. Verkliga kretsar avviker. Antag att Q-grenen har förstärkningen $g = 1 + ε$ och att fasvridningen avviker $φ$ från 90°. Då är $Q = g \sin (ω t + φ)$ för en ton, och signalen innehåller förutom den önskade tonen vid $+ f$ också en spegelbild vid $- f$ . Spegelundertryckningen (IRR, eng. image rejection ratio) är förhållandet mellan dem:

I R R = \frac{1 + 2 g \cos φ + g^{2}}{1 - 2 g \cos φ + g^{2}} \approx \frac{4}{ε^{2} + φ^{2}}

där $φ$ är i radianer och närmevärdet gäller för små fel. Figur 4 visar spektrumet för en ton med $ε = 2$ procent och $φ = 2^{\circ}$ : spegelbilden ligger ungefär 34 dB under tonen, och nedan syns hur IRR beror på de två felen. Tabell 1 ger några värden.

Figur 4. A: beräknat spektrum för en ton vid +10 kHz med 2 % förstärkningsfel, 2° fasfel och en likspänningsförskjutning på 0,3 % av amplituden. B: spegelundertryckningen som funktion av fasfelet för fem förstärkningsfel. Punkten markerar 2 % och 2°.

Tabell 1. Spegelundertryckning för några fel i I/Q-grenarna (beräknad med den exakta formeln).

Förstärkningsfel $ε$	Fasfel $φ$	IRR (dB)
5 %	5°	26,0
2 %	2°	34,0
1 %	1°	40,0
0,1 %	0,1°	60,0

Ett fel på några procent och några grader ger alltså en spegelbild kring 30 dB under tonen, vilket syns som en svag spegelsignal under en stark station. Felet är en enkel linjär blandning av I och Q och kan mätas och rättas i programvara, till exempel med en känd testton. En digital nedblandning (DDC, se nedan) har exakt 90° och exakt lika amplitud, så där finns felen bara i den analoga delen före ADC:erna.

Första termen är den önskade signalen vid $+ f$ och den andra är spegelbilden vid $- f$ . Förhållandet mellan beloppen i kvadrat är

I R R = \frac{| 1 + g e^{j φ} |^{2}}{| 1 - g e^{- j φ} |^{2}} = \frac{1 + 2 g \cos φ + g^{2}}{1 - 2 g \cos φ + g^{2}}

Är $g = 1$ och $φ = 0$ försvinner spegelbilden helt. För små fel blir nämnaren $\approx ε^{2} + φ^{2}$ och täljaren $\approx 4$ .

Det finns ett andra fel. Likspänningsförskjutningar i förstärkarna och oscillatorsignal som läcker in i blandarens ingång och blandas med sig själv ger ett konstant tillskott i I och Q, och i spektrumet en spik vid 0 Hz (figur 4 A). Det är det som kallas likspänningsspiken i en SDR (jämför direktomvandling). Det vanliga botemedlet är att ställa in mottagaren så att den önskade signalen inte hamnar mitt i spektrumet.

Sampling av reella och komplexa signaler#

Att sampla en signal med $f_{s}$ sampel per sekund upprepar spektrumet med $f_{s}$ :s mellanrum: varje signal vid $f$ finns också vid $f + k f_{s}$ för alla heltal $k$ . En reell signal har redan en spegelbild vid $- f$ , så kopiorna vid $k f_{s} \pm f$ omger varje multipel av $f_{s}$ symmetriskt. De kan inte överlappa originalet om signalen ryms i $0$ till $f_{s} / 2$ , och därför krävs $f_{s} > 2 B$ för ett reellt basband med bandbredden $B$ (samplingsteoremet, se Digitalisering av ljud). En komplex signal har bara en kopia per multipel av $f_{s}$ , och den ryms i hela området $- f_{s} / 2$ till $+ f_{s} / 2$ . Bandbredden kan därför vara hela $f_{s}$ .

	Reell signal	Komplex (I/Q) signal
Område utan vikning	$0$ till $f_{s} / 2$	$- f_{s} / 2$ till $+ f_{s} / 2$
Bandbredd som ryms	$f_{s} / 2$	$f_{s}$
Tal per sekund vid takt $f_{s}$	$f_{s}$	$2 f_{s}$ (I och Q)
Takt som behövs för bandbredd $B$	$f_{s} > 2 B$	$f_{s} > B$
Tal per sekund för bandbredd $B$	$2 B$	$2 B$

Den sista raden visar att de båda sätten kräver lika mycket data: två tal per sekund och hertz bandbredd. Skillnaden är att I/Q-metoden använder två långsamma ADC:er och att negativa frekvenser får sin egen plats.

Vikning#

Allt som ligger utanför området viks in. En reell signal vid frekvensen $f$ hamnar vid $| f - k f_{s} |$ , där heltalet $k$ väljs så att resultatet hamnar mellan 0 och $f_{s} / 2$ . En komplex signal hamnar vid $f - k f_{s}$ med $k$ vald så att resultatet hamnar mellan $- f_{s} / 2$ och $+ f_{s} / 2$ .

Figur 5 visar det med beräknade spektra. Överst syns det analoga spektrumet med de två signalerna. Efter sampling utan filter (mitten) finns en andra topp vid 30 kHz, 6 dB under den önskade, eftersom störningen hade halv amplitud. Nederst har ett analogt lågpassfilter (Butterworth, 8:e ordningen, 35 kHz) dämpat störningen på 70 kHz med $10 \log_{10} (1 + (70 / 35)^{16}) = 48,2$ dB före samplingen, så att den vikta toppen hamnar 55 dB under den önskade. Den önskade tonen vid 20 kHz påverkas inte märkbart.

Figur 5. Vikning, beräknad med FFT. A: analogt spektrum med toner vid 20 kHz (0 dB) och 70 kHz (−6 dB). B: efter sampling med 100 kS/s, där störningen hamnar vid 30 kHz. C: med ett analogt lågpassfilter före samplingen sjunker den vikta signalen till −55 dB.

Vikningen kan inte repareras efteråt, eftersom signalerna redan är sammanblandade. Därför måste filtret ligga före ADC:n. Filtret ska dämpa allt som kan vikas in i det band man vill behålla, och det är hela området som ADC:n kan se, ofta betydligt bredare än $f_{s} / 2$ . Om bandet man vill behålla når upp till $B$ börjar de oönskade frekvenserna vikas in i det vid $f_{s} - B$ . Filtret får alltså en övergångsbandbredd från $B$ till $f_{s} - B$ . Ju högre samplingstakt, desto bredare övergångsband och desto enklare filter. Det är ett av skälen till att en SDR gärna samplar mycket snabbare än bandbredden kräver och sedan minskar takten digitalt (se nedan).

Undersampling#

Sampling behöver inte bara användas för basband. Ett smalt band högt upp i frekvens kan också samplas med en takt som är mycket lägre än bandets frekvens, och vikningen flyttar då ner bandet. Det kallas undersampling eller bandpasssampling. Man delar frekvensaxeln i Nyquistzoner som är $f_{s} / 2$ breda: zon 1 är $0$ till $f_{s} / 2$ , zon 2 är $f_{s} / 2$ till $f_{s}$ , och så vidare. Alla zoner viks ned till zon 1. Zonerna med udda nummer hamnar rättvända, de med jämna nummer spegelvända: i zon $m$ gäller

f_{a l i a s} = f - (m - 1) \frac{f_{s}}{2} (m udda), f_{a l i a s} = m \frac{f_{s}}{2} - f (m jämn)

Villkoret är att hela signalbandet $[f_{L}, f_{H}]$ ligger i en enda zon. Då finns ett heltal $n$ med $1 \leq n \leq ⌊ f_{H} / B ⌋$ sådant att

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

(för $n = 1$ gäller bara den undre gränsen, vilket är vanlig Nyquist-sampling). För ett 10 MHz brett band mellan 65 och 75 MHz, till exempel en mellanfrekvens på 70 MHz, ger det intervallen i tabell 2.

Tabell 2. Tillåtna samplingstakter för signalbandet 65–75 MHz (beräknade ur formeln ovan).

$n$	Tillåtet $f_{s}$ (MS/s)	Zon för bandet
1	$\geq 150$	1 (ren Nyquist-sampling)
2	75–130	2
3	50–65	3
4	37,5–43,3	4
5	30–32,5	5
6	25–26	6
7	21,4–21,7	7

Figur 6. Undersampling. A: signalband 65–75 MHz i zon 4 (markerad). B: spektrum efter sampling med 40 MS/s, beräknat med FFT: 66 MHz hamnar vid 14 MHz och 74 MHz vid 6 MHz, så ordningen byter sida (spegling).

Metoden fungerar i praktiken bara med tre förbehåll:

Bandpassfilter före ADC:n. Det måste dämpa allt utanför det valda bandet, eftersom brus och signaler i alla andra zoner viks ned i bandet.
Ingångskretsen måste klara frekvensen. ADC:ns sample-and-hold ska ha analog bandbredd upp till $f_{H}$ , inte bara upp till $f_{s} / 2$ .
Klockjittern sätter gränsen efter signalfrekvensen, inte efter samplingstakten (se nedan). Att sampla 70 MHz kräver lika låg jitter som att sampla 70 MHz med högre takt.

Direktsampling av VHF är därför vanligast i mellanfrekvenssteg och i SDR som arbetar med ett fast, noggrant filtrerat band (se SDR).

ADC: upplösning, brus och dynamik#

En ADC med $N$ bitar avrundar varje sampel till en av $2^{N}$ nivåer. Felet beter sig som slumpbrus, och för en sinussignal med fullt utslag blir signal-brusförhållandet $S N R = 6,02 N + 1,76$ dB (härledningen står i Digitalisering av ljud).¹ Varje bit ger alltså 6 dB. Kvantiseringsbruset är jämnt fördelat över hela området $0$ till $f_{s} / 2$ , och i en FFT med $N_{F F T}$ punkter delas det på $N_{F F T} / 2$ fack, så brusgolvet per fack ligger $10 \log_{10} (N_{F F T} / 2)$ dB under det totala bruset (figur 7). Med 8192 punkter är det 36,1 dB. En smal kanal i en SDR får i samma anda processvinst: tar man ut en kanal med bandbredden $B$ ur en reell ström med takten $f_{s}$ minskar bruset i kanalen med $10 \log_{10} (f_{s} / 2 B)$ dB, och för komplexa sampel med $10 \log_{10} (f_{s} / B)$ dB.

Figur 7. Kvantiseringsbrus i FFT, beräknat för en sinus med fullt utslag. Det uppmätta SNR är 49,7 dB (8 bitar) och 74,0 dB (12 bitar), nära 6,02N + 1,76 dB. Brusgolvet per fack ligger 36,1 dB lägre. De streckade linjerna är den teoretiska nivån.

I verkligheten är det alltid sämre. ENOB (effektivt antal bitar) är den ideala bitmängd som motsvarar det SNR (mer exakt SINAD) som omvandlaren faktiskt uppnår:

E N O B = \frac{S I N A D - 1,76}{6,02}

Ett uppmätt SINAD på 68 dB motsvarar $(68 - 1,76) / 6,02 = 11,0$ bitar. De viktigaste skälen till att det blir sämre än idealet är termiskt brus i ingångskretsen, icke-linjäritet och klockjitter.

Klockjitter. Provtagningstidpunkten varierar lite, och felet blir större ju snabbare signalen ändrar sig. För en sinus med frekvensen $f$ sätter ett effektivt jitter $t_{j}$ gränsen²

{S N R}_{j i t t e r} = - 20 \log_{10} (2 π f t_{j})

Vid $f = 70$ MHz och $t_{j} = 1$ ps blir gränsen 67,1 dB, lägre än idealet 74 dB för 12 bitar. För att jittern inte ska vara begränsande för 12 bitar behövs $t_{j} \leq 1 / (2 π \cdot 70 \cdot 10^{6} \cdot 10^{74 / 20}) = 0,45$ ps. Därför ställer undersampling av höga frekvenser mycket höga krav på samplingsklockan.

Överstyrning och dynamik. En ADC har ett fast fullt omfång. Överskrids det klipper den hårt och skapar distorsion över hela bandet. Därför anges ADC:er med SFDR (spuriousfritt dynamiskt omfång) och inte IP3 som analoga steg.³ Mottagaren måste lämna marginal under fullt utslag för signaler med höga toppar, till exempel OFDM och flera starka stationer samtidigt, och den marginalen kostar bitar. Läs mer i Linjäritet, intermodulation och dynamik.

Decimering och FIR-filter#

Efter ADC:n har en SDR ofta en samplingstakt som är mycket högre än vad den önskade signalen kräver. En kanal på 12 kHz behöver inte 2,4 MS/s. Man minskar därför takten genom decimering med faktorn $M$ : man behåller bara var $M$ :e sampel. Det enkla är lätt att göra fel: om man bara slänger sampel viks allt över $f_{s} / (2 M)$ in i bandet. Man måste först lågpassfiltrera och sedan decimera.

Figur 8 visar kedjan i en digital nedblandning (DDC, eng. digital down conversion). En digital oscillator och en komplex blandare flyttar den önskade signalen till 0 Hz, ett FIR-lågpassfilter tar bort allt utanför kanalen, och decimeringen sänker takten. Här går takten från 2,4 MS/s till 48 kS/s ( $M = 50$ ).

Figur 8. Digital nedblandning och decimering. Överst blocken, under dem frekvenssvaret för ett FIR-filter med 433 koefficienter (Kaiser-fönster, 80 dB). Efter decimering till 48 kS/s viks frekvenserna 38–58 kHz in i området −10 till +10 kHz, och därför ska spärrbandet börja vid 38 kHz.

Ett FIR-filter (eng. finite impulse response) beräknar varje utsampel som en viktad summa av de $L$ senaste insampeln: $y [n] = \sum_{k = 0}^{L - 1} h [k] x [n - k]$ . Koefficienterna $h [k]$ är filtrets impulssvar. FIR-filter är alltid stabila, och med symmetriska koefficienter får de linjär fas, alltså samma fördröjning för alla frekvenser, vilket är viktigt för digital modulation. Priset är antalet koefficienter, som växer när övergångsbandet smalnas av. Ett IIR-filter återkopplar utsignalen och klarar en lika brant kant med färre koefficienter, men har olinjär fas och kan bli instabilt. Det används för enkla uppgifter som att jämna ut en nivåmätning.

Hur många koefficienter behövs? Med Kaiser-fönstret, som är vanligt för sådana filter, är antalet ungefär⁴

L \approx \frac{A - 7,95}{2,285 Δ ω} + 1, Δ ω = 2 π \frac{Δ f}{f_{s}}

där $A$ är önskad dämpning i dB och $Δ f$ övergångsbandets bredd.

Räkneexempel: 2,4 MS/s till 48 kS/s

Kanalen ska behålla signaler upp till 10 kHz. Efter decimering till 48 kS/s viks frekvenser över 48 − 10 = 38 kHz in i kanalen, så spärrbandet ska börja vid 38 kHz och dämpa 80 dB. Övergångsbandet är $Δ f = 38 - 10 = 28$ kHz.

$Δ ω = 2 π \cdot 28 000 / 2,4 \cdot 10^{6} = 0,0733$ rad.
$L \approx (80 - 7,95) / (2,285 \cdot 0,0733) + 1 \approx 431$ . SciPy:s Kaiser-formel ger 433 koefficienter, och det uppmätta filtret dämpar 81,8 dB med 0,001 dB rippel i passbandet.
Fördröjningen är $(433 - 1) / 2 = 216$ sampel, alltså $216 / 2,4 \cdot 10^{6} = 90 μ s$ .
Beräknar man filtret på alla 2,4 miljoner sampel per sekund blir det $433 \cdot 2,4 \cdot 10^{6} = 1,04$ miljarder multiplikationer och additioner (MAC) per sekund per gren. Eftersom bara var 50:e utsampel behövs kan en polyfasstruktur hoppa över resten: $433 \cdot 48 000 = 20,8$ miljoner MAC per sekund, 50 gånger färre.

Vid stora decimeringsfaktorer, till exempel i en FPGA, delar man ofta upp arbetet i flera steg: först ett enkelt CIC-filter (cascaded integrator-comb) som bara behöver additioner och subtraktioner och sänker takten i ett steg, sedan ett eller flera FIR-filter som formar passbandet och gör slutjusteringen.

FFT i praktiken#

I en SDR beräknas spektrumet med en FFT av de komplexa samplen (se Tidsdomän och frekvensdomän). En FFT med $N$ punkter ger $N$ frekvensfack med avståndet $Δ f = f_{s} / N$ mellan fack, och för komplexa sampel täcker de området $- f_{s} / 2$ till $+ f_{s} / 2$ . Resultatet vrids ofta så att 0 Hz hamnar i mitten (fftshift). Några saker avgör hur bilden ser ut:

Upplösning. Hur nära två signaler kan ligga bestäms av observationstiden $N / f_{s}$ . Med ett fönster blir upplösningen $E N B W \cdot f_{s} / N$ , där ENBW (ekvivalent brusbandbredd) är 1,0 fack för rektangulärt fönster och 1,5 för Hann-fönster (Tidsdomän och frekvensdomän har en tabell över fönster). Med $f_{s} = 2,4$ MS/s och $N = 16 384$ blir fackavståndet 146,5 Hz, upplösningen med Hann-fönster 220 Hz och observationstiden 6,8 ms.
Brusgolv. Brus fördelas över alla fack, medan en smal signal samlas i ett fack. Fördubblar man $N$ sjunker brusgolvet per fack med 3 dB utan att signalen ändras, vilket gör svaga signaler lättare att se. För en komplex FFT med $N$ punkter ligger brusgolvet $10 \log_{10} N$ dB under det totala bruset, med $N = 16 384$ alltså 42,1 dB.
Medelvärdesbildning. Man får en jämnare bild genom att beräkna flera FFT:er och ta medelvärde av effekten. Det minskar slumpvariationen i brusets nivå, men inte nivån.
Överlapp. Fönsterfunktioner dämpar kanterna av varje block, så en kort puls kan missas. Med 50 till 75 procent överlapp mellan blocken fångas den.
Vattenfall. Ställer man spektra efter varandra i tid får man ett vattenfallsdiagram (se Vattenfallsdiagrammet).

Beräkna själv#

Följande Python-program gör kedjan i figur 8 på en simulerad I/Q-ström, och demodulerar sedan en FM-signal ur I/Q-samplen. Det testades när artikeln skrevs (NumPy och SciPy).

import numpy as np
from scipy import signal

fs = 2.4e6                                   # samplingstakt för I/Q-inspelningen
n = np.arange(2 ** 18)
rng = np.random.default_rng(1)
brus = 1e-4 * (rng.standard_normal(n.size) + 1j * rng.standard_normal(n.size))
z = (np.exp(2j * np.pi * 312.5e3 * n / fs)             # önskad signal vid +312,5 kHz
     + 0.3 * np.exp(-2j * np.pi * 120e3 * n / fs)      # stark granne vid −120 kHz
     + brus)

# 1. Digital nedblandning: flytta +312,5 kHz till 0 Hz
z = z * np.exp(-2j * np.pi * 312.5e3 * n / fs)

# 2. FIR-lågpass (Kaiser, 80 dB) och decimering med 50: 2,4 MS/s -> 48 kS/s
ntaps, beta = signal.kaiserord(80, (38e3 - 10e3) / (fs / 2))
h = signal.firwin(ntaps | 1, 24e3, window=("kaiser", beta), fs=fs)
y = signal.upfirdn(h, z, up=1, down=50)
fs_ut = fs / 50
print(len(h), fs_ut)                                   # 433 koefficienter, 48000.0

# 3. Spektrum av resultatet (Hann-fönster)
N = 4096
Y = np.fft.fftshift(np.fft.fft(y[500:500 + N] * np.hanning(N)))
f = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, 1 / fs_ut))
print(round(f[np.argmax(abs(Y))], 1))                  # 0.0 Hz: signalen ligger på 0 Hz
print(round(10 * np.log10(np.mean(abs(y[500:]) ** 2)), 2))   # ca 0 dB: grannen är borta

# FM-demodulering ur I/Q: momentan frekvens = fasens ändring mellan sampel
t = np.arange(4800) / fs_ut
dev, fm_ton = 5e3, 1e3
fas = dev / fm_ton * np.sin(2 * np.pi * fm_ton * t)    # integralen av 2π·dev·cos(2π·fm·t)
s = np.exp(1j * fas)
f_inst = np.angle(s[1:] * np.conj(s[:-1])) * fs_ut / (2 * np.pi)
print(round(f_inst.max()), round(f_inst.min()))        # ca +4986 och -4986 Hz (nära 5000 Hz)

Kontrollfrågor#

Varför kan en reell blandare inte skilja en ton 3 kHz över oscillatorn från en ton 3 kHz under?

En reell signal har ett symmetriskt spektrum, och multiplikation med $\cos ω_{0} t$ ger $\cos Δ t$ för båda tonerna. Den komplexa blandaren använder även $- \sin ω_{0} t$ , och Q-grenen får olika tecken ( $+ \sin Δ t$ eller $- \sin Δ t$ ), så signalerna hamnar vid $+ 3$ och $- 3$ kHz.

En komplex I/Q-ström har samplingstakten 250 kS/s. Vilket frekvensområde och vilken bandbredd kan den rymma, och vilken takt behövdes för samma bandbredd i en reell ström?

Området är $- 125$ till $+ 125$ kHz, alltså bandbredden 250 kHz. En reell ström behöver minst $f_{s} > 2 B = 500$ kS/s för samma bandbredd.

Vilken frekvens får en ton på 30 kHz om man samplar den med 48 kS/s (reellt) respektive med 48 kS/s (komplext)?

Reellt: $| 30 - 48 | = 18$ kHz. Komplext: $30 - 48 = - 18$ kHz, alltså på negativa sidan.

Beräkna spegelundertryckningen för 1 procent förstärkningsfel och 1 grads fasfel.

$φ = 1^{\circ} = 0,01745$ rad, så $I R R \approx 4 / (0, 01^{2} + 0, 01745^{2}) = 4 / (4,05 \cdot 10^{- 4}) \approx 9 900$ , alltså ungefär $10 \log_{10} 9 900 = 40$ dB.

Går det att sampla ett band på 65–75 MHz med 45 MS/s?

Nej. Zonerna är 22,5 MHz breda, och gränsen mellan zon 3 och zon 4 ligger vid $3 \cdot 22,5 = 67,5$ MHz, mitt i bandet. De två delarna viks då över varandra. Tillåtna intervall är 37,5–43,3 MS/s (zon 4) och 50–65 MS/s (zon 3), bland andra.

Vilken klockjitter får man högst ha om jittern inte ska begränsa SNR till under 74 dB när man samplar en 70 MHz-signal?

$t_{j} \leq 1 / (2 π f \cdot 10^{74 / 20}) = 1 / (2 π \cdot 70 \cdot 10^{6} \cdot 5 012) \approx 0,45$ ps.

Ett FIR-filter ska föregå en decimering från 1,92 MS/s till 48 kS/s, där kanalen når 12 kHz. Var ska spärrbandet börja?

Frekvenser över $f_{s, u t} - B = 48 - 12 = 36$ kHz viks in i kanalen vid decimeringen, så spärrbandet ska börja vid 36 kHz. Övergångsbandet är 12 till 36 kHz, 24 kHz brett.

Varför ökar inte brusgolvet i en FFT-bild när man fördubblar antalet punkter, utan sjunker i stället?

Det totala bruset är fast, men det delas på dubbelt så många frekvensfack, så varje fack får hälften av effekten: brusgolvet sjunker 3 dB. En smal signal samlas i ett enda fack och behåller sin nivå.

Formeln antar att kvantiseringsfelet är okorrelerat med signalen och jämnt fördelat, vilket stämmer bra för stora signaler men inte för mycket små eller för signaler med enkel periodicitet. Analog Devices MT-229. Siffrorna 49,7 och 74,0 dB i figur 7 är uppmätta på simulerade data och avviker några tiondels dB från det teoretiska värdet. ↩
Analog Devices MT-007 (Walt Kester). Formeln förutsätter en ideal ADC där jittern är enda brusorsak. ↩
Analog Devices MT-012 (Walt Kester). Skälet är att en ADC saknar den mjuka kompression som en analog förstärkare har och i stället klipper hårt vid överstyrning. ↩
Kaisers formel för filterlängd finns i Oppenheim och Schafer. Värdet 433 koefficienter kommer från SciPy:s kaiserord följt av firwin med den cutoff-frekvens som ligger mitt i övergångsbandet, och 81,8 dB är den minsta dämpningen i spärrbandet som mättes i den beräknade frekvenskurvan. ↩

Källor och vidare läsning

Prentice Hall (2011). R. G. Lyons: Understanding Digital Signal Processing, 3:e upplagan. Kvadratursignaler, positiva och negativa frekvenser, sampling och vikning, decimering, FIR-filter och FFT på en nivå som passar ingenjörer.
Pearson. A. V. Oppenheim och R. W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing, 3:e upplagan. Samplingsteoremet, bandpasssampling, Kaiser-fönstret och formeln för filterlängd, decimering och polyfasstrukturer.
Prentice Hall (2011). B. Razavi: RF Microelectronics, 2:a upplagan. Kvadraturmottagare, I/Q-obalans och spegelundertryckning, likspänningsförskjutning i direktomvandlande mottagare.
Analog Devices (2012). MT-229: Fundamentals of ADC SNR (Ching Man). Härledning av SNR = 6,02N + 1,76 dB för en ideal N-bitars ADC, under antagandet att kvantiseringsfelet är okorrelerat brus. Hämtad 25 oktober 2026.
Analog Devices (2008). MT-007: Aperture Time, Aperture Jitter, Aperture Delay Time – Removing the Confusion (Walt Kester, rev. A). Formeln SNR = 20·log10(1/(2π·f·tj)) för den gräns som klockjitter sätter för en fullt utstyrd sinussignal med frekvensen f. Hämtad 25 oktober 2026.
Analog Devices (2008). MT-012: Intermodulation Distortion Considerations for ADCs (Walt Kester, rev. A). ADC:er specificeras med SFDR och inte IP3, eftersom de klipper hårt vid överstyrning. Hämtad 25 oktober 2026.

Läs vidare

Citera den här sidan

Använd gärna kunskapsbanken som källa i rapporter och uppsatser. Ange alltid datum, eftersom regler och tilldelningar ändras.

APA 7

SRFA Kunskapsbank. (2026). I/Q-signaler, sampling och digital signalbehandling. Sveriges Radiofrekvensallokering. https://srfa.se/kunskap/radioteknik/iq-och-sampling/

Harvard

Sveriges Radiofrekvensallokering (2026). I/Q-signaler, sampling och digital signalbehandling. SRFA Kunskapsbank. Tillgänglig: https://srfa.se/kunskap/radioteknik/iq-och-sampling/ (hämtad 24 oktober 2026).

Kunskapsbanken är en sammanställning för utbildning och referens. Den ersätter inte gällande föreskrifter och ger ingen rätt att sända. Kontrollera alltid aktuella villkor hos PTS.