Frekvens- och fasmodulation

Vid frekvensmodulation (FM) låter man ljudet styra bärvågens frekvens i stället för dess styrka. Amplituden är hela tiden konstant, så brus och fädning som ändrar signalstyrkan stör mindre, och sändarens slutsteg kan arbeta med hög verkningsgrad. Priset är bandbredd: en FM-signal tar betydligt mer plats än en AM-signal med samma ljud. FM används i rundradion på 87,5–108 MHz, i landmobilradio, i marin VHF och hos radioamatörer, och de digitala metoderna FSK och GMSK i digital modulation är direkta släktingar.

Frekvens och fas hänger ihop#

En bärvåg kan skrivas $s(t)=A\cos \theta (t)$, där $\theta (t)$ är den totala fasvinkeln. Momentanfrekvensen är hur snabbt vinkeln växer: $f_i(t)=\frac{1}{2\pi }d\theta /dt$. Utan modulation är $\theta =2\pi f_{c}t$ och frekvensen är konstant, $f_c$.

Vid FM låter man frekvensen avvika från $f_c$ i proportion till den modulerande signalen $x(t)$:

Vid PM låter man i stället själva fasen följa signalen: $s(t)=A\cos (2\pi f_{c}t+k_{p}x(t))$. Momentanfrekvensen blir då $f_c+\frac{k_p}{2\pi }dx/dt$, alltså proportionell mot signalens lutning. Figur 1 visar skillnaden med en triangelvåg som modulerande signal. Vid FM ändras frekvensen jämnt när signalen stiger och faller. Vid PM är lutningen konstant på varje sträcka, så frekvensen är konstant men ligger högre när signalen stiger och lägre när den faller.

Med en ren ton som modulerande signal går FM och PM inte att skilja åt på ett oscilloskop, eftersom derivatan av en sinusvåg bara är en förskjuten sinusvåg. Skillnaden syns först när tonens frekvens ändras:

• Vid FM bestäms svinget $\Delta f$ av signalens amplitud, inte av dess frekvens. Dubblar du tonfrekvensen halveras modulationsindex.
• Vid PM bestäms fassvinget av amplituden. Dubblar du tonfrekvensen fördubblas frekvenssvinget, eftersom fasen då ändras dubbelt så snabbt.

Många smalbandiga FM-sändare skapar därför FM genom att fasmodulera en kristallstyrd oscillator, vilket ger god frekvensstabilitet. Om ljudet inte först integreras får FM-signalen en inbyggd förstärkning av höga toner på 6 dB per oktav, som mottagaren tar bort igen med en motsvarande deemfaskrets (se längre ned).

Eftersom amplituden $A$ är konstant är medeleffekten $A^2/2$ oavsett modulationen. Modulationen flyttar bara om effekten mellan frekvenserna.

Frekvenssving och modulationsindex#

Frekvenssvinget (eng. frequency deviation) $\Delta f$ är den största avvikelsen från $f_c$. För en ton med frekvensen $f_m$ definieras modulationsindex

På ett system anger man ofta största tillåtna svinget och högsta ljudfrekvens. Förhållandet mellan dem, $D=\Delta f_{\text{max}}/f_{\text{max}}$, kallas svingförhållande (eng. deviation ratio) och är det värsta fallet för modulationsindex. Vid FM anger man modulationsgrad i procent av största tillåtna sving: i rundradio motsvarar 100 % exakt ±75 kHz.

Spektrum och Besselfunktioner#

Sätter man in en ton $x(t)=\cos (2\pi f_{m}t)$ i FM-formeln kan signalen skrivas som en summa av sinusvågor, med hjälp av Besselfunktioner $J_n$ av första slaget:

Spektrumet består alltså av en bärvåg och sidlinjer på avstånden $f_m$, $2f_m$, $3f_m$ och så vidare från bärvågen, där linje nummer $n$ har amplituden $|J_n(\beta )|$ (figur 2).

Några egenskaper är värda att lägga på minnet:

• Små $\beta$: bara $J_0\approx 1$ och $J_{\pm 1}\approx \pm \beta /2$ är av betydelse. Spektrumet har då samma tre linjer som AM och bandbredden är $2f_m$. Skillnaden mot AM är fasen: sidlinjerna ligger 90° förskjutna mot bärvågen i stället för i fas, och därför ändras frekvensen i stället för amplituden. Det kallas smalbands-FM.
• Bärvågen försvinner när $J_0(\beta )=0$, alltså vid $\beta =\mathrm{2,405};\mathrm{5,520};\mathrm{8,654}$ och så vidare (de röda punkterna i figur 3). Effekten ligger då helt i sidlinjerna. En gammal men fortfarande användbar metod är att kalibrera en FM-sändares sving genom att modulera med en känd ton och öka nivån tills bärvågen första gången försvinner på en spektrumanalysator; då är $\beta =\mathrm{2,405}$.
• Effekten bevaras: ${\sum }_n{J}_n^2(\beta )=1$, så den totala effekten är densamma för alla $\beta$.
• Stora $\beta$: många linjer med jämnt fördelad effekt, och spektrumet fyller ungefär området $f_c\pm \Delta f$.

Carsons regel#

En FM-signal har i princip oändligt många sidlinjer, men amplituden avtar snabbt när $n$ växer förbi $\beta$. Carsons regel säger att man får med nästan all effekt om man behåller linjerna upp till ungefär $\beta +1$ gånger $f_m$ på var sida:

För ett system med flera toner sätter man in största sving och högsta ljudfrekvens. Figur 3 (höger) visar hur stor del av effekten som verkligen hamnar inom Carsons bandbredd för en ton, beräknad ur Besselfunktionerna: mellan 96 och 100 % för alla $\beta$ från 0 till 10 och oftast över 98 %. Sågtandsformen kommer av att en ny sidlinje kommer med inom bandet först när $\beta +1$ passerar ett heltal.

Carsons regel ligger bakom de beräkningar som ITU använder för nödvändig bandbredd, där en korrektionsfaktor $K$ anpassar uppskattningen till det verkliga systemet. Hur man läser och bygger beteckningar som 16K0F3E förklaras i Sändningsklasser och emissionsbeteckningar.

Tabell 1. FM-system och deras bandbredd. Bandbredd enligt Carsons regel och ITU-beteckning enligt SM.1138¹ (smalbands-FM enligt vedertagen praxis²).

Smalbands-FM och bredbands-FM#

Gränsen mellan smalbands- och bredbands-FM går vid $\beta \approx 1$, ungefär där fler än ett sidlinjepar får betydelse.

Smalbands-FM används där spektrum är det som är knappt. Kanalerna är 12,5 eller 25 kHz breda, svinget är några kilohertz och mottagaren hör kvalitetsmässigt tal men inte musik. Hit hör landmobilradio, radioamatörernas FM på 2 m och 70 cm, jaktradio och PMR446, och sjöfartens marina VHF, som enligt ITU-R M.489-2 har 25 kHz kanalavstånd³. Se Sjöfartsradio och Repeatrar och digital röstkommunikation.

Bredbands-FM används där man vill ha hög kvalitet och har bandbredd att avvara. Rundradion med $\Delta f=75$ kHz och $\beta$ upp till 5 är det tydligaste exemplet. Bandbredden på 180 kHz är större än kanalrastret (ITU region 1 använder vanligen 100 kHz), så sändare i samma område planeras på glesare frekvenser. Mer om FM-bandet 87,5–108 MHz finns i Analog rundradio: AM och FM.

Brus, tröskel och bandbreddsvinst#

Det som gör bredbands-FM så bra är hur den hanterar brus. Brus ändrar mest signalens amplitud, och en FM-mottagare begränsar amplituden (eng. limiter) innan demoduleringen, så det mesta av brusets amplitudvariation försvinner. Kvar blir bruset som flyttar nollgenomgångarna, och det påverkar utsignalen mindre ju större frekvenssvinget är.

För en ton som modulerar med svinget $\Delta f=\beta f_m$, och med bärvåg-brusförhållandet CNR uppmätt i Carsons bandbredd, blir signal-brusförhållandet efter demodulatorn (över tröskeln) i idealfallet

Kurvorna i figur 4 visar detta samband och en simulering av en FM-demodulator.

Vinsten är inte gratis. Dubblar man $\beta$ genom att dubbla svinget fördubblas ungefär bandbredden, och man vinner 6 dB (faktor 4) genom ${\beta }^2$-termen och därtill mer genom $(\beta +1)$. Det är ett konkret exempel på avvägningen mellan bandbredd och signal-brusförhållande som Shannon formulerade generellt, se Bandbredd, kanalkapacitet och Shannons gräns. Grunderna om brus finns i Brus och signal-brusförhållande.

Tre saker är värda att veta om FM och brus:

• Tröskeleffekten. När bärvåg-brusförhållandet understiger ca 10 dB förekommer brusstötar som får fasen att slå ett helt varv. De hörs som knaster, och signal-brusförhållandet faller snabbare än CNR (figur 4). Tröskeln ligger något högre ju större modulationsindex och bandbredd. Bredbands-FM måste alltså ha en tillräckligt stark signal för att alls ge bättre ljud än AM, men när signalen väl är stark nog blir kvaliteten mycket hög.
• Brusspektrumet är parabolskt. Efter diskriminatorn har bruset en effekttäthet som är proportionell mot $f^2$: höga ljudfrekvenser är mycket brusigare än låga.
• Konstant amplitud. Informationen ligger i frekvensen, så sändaren kan använda olinjära, effektiva slutsteg (se Sändaren) utan att ljudet förvrängs.

Preemfas och deemfas#

Eftersom bruset efter demodulatorn ökar med frekvensen (figur 5, höger) vore det bra om de höga ljudfrekvenserna kunde komma fram starkare än bruset. Tal och musik har dessutom mindre energi i diskanten än i basen. Lösningen är preemfas (eng. pre-emphasis): sändaren förstärker de höga ljudfrekvenserna med en enkel RC-krets innan modulatorn, och mottagaren tar bort förstärkningen igen med motsvarande deemfas-krets efter demodulatorn. Ljudet blir därmed oförändrat, medan bruset i diskanten dämpas.

Kretsarna karakteriseras av tidskonstanten $\tau$. Brytfrekvensen är $f_1=1/(2\pi \tau )$. Europa använder $\tau =50\mu \text{s}$ ($f_1=\mathrm{3,18}$ kHz) i rundradio, och USA använder 75 µs ($f_1=\mathrm{2,12}$ kHz)⁵.

Beräknat för vitt brus i ljudbandet 0–15 kHz minskar bruseffekten med $\approx 10$ dB för 50 µs och $\approx 13$ dB för 75 µs. Beräkningen är

med $W=15$ kHz. I verkligheten är vinsten något lägre, eftersom ljudets topp-nivåer i diskanten inte får överskrida största tillåtna sving.

FM-stereo och RDS#

När FM-stereo infördes i rundradion måste den vara bakåtkompatibel: en gammal monomottagare ska fortfarande höra ett riktigt ljud. Lösningen är att bygga en multiplexsignal i basbandet som får modulera sändaren (figur 6)⁵.

• L+R (summasignalen) ligger på 30 Hz–15 kHz, precis som i en monosändning. En monomottagare hör den som vanligt.
• Pilottonen på 19 kHz ligger mellan summasignalen och differenssignalen och tar 8–10 % av största sving. Den talar om för mottagaren att det är en stereosändning.
• L−R (differenssignalen) sänds som DSB-SC (se Amplitudmodulation) kring en underbärvåg på 38 kHz, alltså med två sidband på 23–53 kHz. Underbärvågen, som är undertryckt, återskapas i mottagaren genom att man fördubblar pilotens frekvens och på så vis får rätt frekvens och fas.
• RDS (Radio Data System) ligger vid 57 kHz, tre gånger pilotfrekvensen, med nominellt ±2 kHz sving. Datatakten är 1 187,5 bit/s (57 000/48), och data skickas i grupper om 104 bitar, fyra block à 26 bitar (16 informationsbitar och 10 kontrollbitar)⁶. RDS ger stationsnamn, radiotext, alternativa frekvenser och trafikinformation.

Mottagaren räknar ut vänster kanal som summan och höger som skillnaden: $L=(L+R)/2+(L-R)/2$ och $R=(L+R)/2-(L-R)/2$ (med lämplig skalning).

Stereo är dyrt i brus. Differenssignalen ligger på 23–53 kHz där brusets effekttäthet är mycket högre än i basbandet (parabeln i figur 5), och svinget delas med summasignalen. Stereoljudet blir därför ungefär 20 dB brusigare än monoljudet vid samma antennsignal. Många mottagare blandar ned till mono när signalen är svag.

Fångsteffekt#

Om två FM-signaler på samma frekvens når mottagaren får man ingen blandning, utan den starkaste "fångar" demodulatorn och den svagare försvinner nästan helt. Det kallas fångsteffekt (eng. capture effect). Vågorna kan tänkas som två roterande visare. Den summerade visarens vinkel, som är det som FM-demodulatorn mäter, följer i huvudsak den längre visaren, och den kortare bidrar bara med en liten oscillation. Redan när den ena signalen är några decibel starkare än den andra hörs bara den starka. Det avstånd som krävs kallas fångstförhållande och är för en bra mottagare ofta bara några decibel.

Fångsteffekten är en fördel eftersom en störande signal på samma frekvens blir nästan ohörbar, men en nackdel i trafik: den som sänder samtidigt med en starkare station hörs inte alls, och ingen märker att något gått förlorat. Därför använder flygradion fortfarande AM, där båda hörs (se Amplitudmodulation och Luftfartsradio).

Modulera och demodulera FM#

Modulatorn. Direkt FM görs med en oscillator vars frekvens styrs av spänningen, ofta med en varaktordiod i resonanskretsen (se Resonanskretsar och filter). För god frekvensstabilitet låses oscillatorn med en faslåst slinga (PLL) som bara följer lågfrekvent modulation. Indirekt FM (Armstrongs metod) integrerar ljudet och fasmodulerar en kristallstyrd bärvåg. Hur oscillatorer och PLL fungerar beskrivs i Blandare, oscillatorer och frekvenssyntes.

Demodulatorn. En FM-mottagare begränsar signalen och för den sedan genom en frekvensdiskriminator, som ger en utspänning proportionell mot frekvensavvikelsen (en S-formad kurva som är linjär inom svingets område). Analoga lösningar är kvadraturdetektorer och Foster–Seeley- eller kvotdetektorer; en annan är en PLL. I en mjukvarudefinierad radio beräknar man i stället fasskillnaden mellan på varandra följande I/Q-prov (se I/Q-signaler och sampling):

import numpy as np

fs = 48_000                           # samplingsfrekvens (Hz)
t = np.arange(fs) / fs                # en sekund
fm, df = 1_000, 5_000                 # ton 1 kHz, frekvenssving 5 kHz
x = np.cos(2 * np.pi * fm * t)        # modulerande signal, |x| <= 1
fas = 2 * np.pi * np.cumsum(df * x) / fs     # integralen i FM-formeln
iq = np.exp(1j * fas)                 # FM i basbandet (bärvågen borttagen)

# demodulering: fasskillnad mellan intilliggande prov, omräknad till Hz
y = np.angle(iq[1:] * np.conj(iq[:-1])) * fs / (2 * np.pi)
# y är nu lika med df * x, alltså den ursprungliga signalen

Kontrollfrågor#