Bandbredd, kanalkapacitet och Shannons gräns

Hur mycket information kan man skicka per sekund genom en radiokanal? Svaret ger inte teknikens nivå i dag utan en fysikalisk gräns. Claude Shannon visade 1948 att varje kanal med en viss bandbredd och ett visst signal-brusförhållande har en kanalkapacitet: en övre gräns för bithastigheten som går att nå med godtyckligt få fel. Gränsen styr allt från hur mycket data en mobilcell kan bära till hur svag en signal kan vara och ändå avkodas. Den förklarar också varför spektrum är en så värdefull resurs.

Nyquist: bandbredd begränsar symbolhastigheten#

Harry Nyquist visade 1928 att en brusfri kanal med bandbredden $B$ (från 0 till $B$ Hz) kan bära högst $2B$ oberoende symboler per sekund utan att symbolerna flyter ihop i mottagaren (intersymbolinterferens, se Digital modulation). Om varje symbol kan anta $M$ nivåer blir den högsta bithastigheten

För en bandpasskanal med I/Q-modulation kan man sända $B$ komplexa symboler per sekund, vilket motsvarar samma två dimensioner per hertz. Med rotupphöjd cosinus blir symbolhastigheten $R_s=B/(1+\alpha )$.

Nyquists formel säger ingenting om brus. Utan brus kan man hålla ihop hur många nivåer som helst, och bithastigheten växer obegränsat. Verkligheten har brus, och det är det som sätter gränsen. Ralph Hartley hade redan 1928 påpekat att antalet nivåer som mottagaren kan skilja åt begränsas av bruset, men det var Shannon som gjorde det precist.

Shannon–Hartley: kapaciteten i en brusig kanal#

Shannon bevisade att för en kanal med additivt vitt gaussiskt brus (AWGN, eng. additive white Gaussian noise) är den högsta felfria bithastigheten

där $B$ är bandbredden i hertz och $S/N$ är signal-brusförhållandet som tal (inte i dB) i samma bandbredd. Bruseffekten är $N=N_{0}B$, där $N_0$ är brustätheten i W/Hz (se Brus och signal-brusförhållande).

Satsen har två delar. Under kapaciteten finns det kodningsmetoder som ger en godtyckligt låg felsannolikhet, bara blocken är tillräckligt långa. Över kapaciteten går det inte, hur man än kodar. Satsen säger däremot ingenting om hur koden ska se ut; det tog fem decennier att hitta praktiska koder som närmar sig gränsen (se Felrättande kodning).

Vad formeln säger#

• Vid högt signal-brusförhållande ($S/N\gg 1$) är $C\approx B{\log }_2(S/N)=B·{\text{SNR}}_{\text{dB}}/\mathrm{3,01}$. Kapaciteten växer med ett bit/s/Hz för varje fördubbling av effekten, alltså för varje 3 dB. Här är systemet bandbreddsbegränsat: mer bandbredd hjälper mycket, mer effekt hjälper lite.
• Vid lågt signal-brusförhållande ($S/N\ll 1$) är $\ln (1+x)\approx x$, så $C\approx {\displaystyle \frac{S}{N_0}}{\log }_{2}e\approx \mathrm{1,443}{\displaystyle \frac{S}{N_0}}$. Kapaciteten är proportionell mot effekten och oberoende av bandbredden. Här är systemet effektbegränsat: mer effekt hjälper direkt, mer bandbredd hjälper ytterst lite.

Figur 1 visar spektral effektivitet $C/B={\log }_2(1+\text{SNR})$ mot SNR i dB, tillsammans med vad några okodade moduleringsmetoder kräver.

Bandbredd eller effekt?#

Både $B$ och $S/N$ står i formeln, men $N=N_{0}B$ växer med bandbredden. Med fast mottagen effekt $P$ blir kapaciteten

Ökar man $B$ ökar faktorn framför, men SNR sjunker. Gränsvärdet för $B\to \infty$ är

Alltså finns det en gräns även med oändlig bandbredd, och den ges av förhållandet mellan effekt och brustäthet. Figur 2 visar hur snabbt man närmar sig den som funktion av $B{N}_0/P$.

Avvägningen mellan bandbredd och effekt är grunden för flera tekniker. Spridningsspektrum (se Spridningsspektrum) sprider en signal över ett mycket bredare band än nödvändigt och får därmed en signal som tål lågt SNR. Bredbands-FM använder mer bandbredd än AM och ger i gengäld bättre brusegenskaper över tröskeln (se Frekvens- och fasmodulation). Samma tänkande finns i GNSS, där signalerna tas emot under brusgolvet (se GNSS).

Energi per bit och Shannongränsen#

När man jämför system är det mer rättvist att räkna energi per bit än signal-brusförhållande. Med bithastigheten $R_b$ är energin per bit $E_b=S/R_b$. Förhållandet till brustätheten är

där $\eta =R_b/B$ är den spektrala effektiviteten i bit/s/Hz. Om man sänder precis med kapaciteten ($R_b=C$) gäller $\eta ={\log }_2(1+\text{SNR})$, alltså $\text{SNR}=2^{\eta }-1$. Det ger den lägsta möjliga energin per bit för en given effektivitet:

Ju lägre effektivitet man nöjer sig med, desto lägre energi per bit krävs. I gränsen $\eta \to 0$, alltså oändlig bandbredd, blir uttrycket $\ln 2$:

Det är Shannongränsen: under −1,59 dB går det inte att sända felfritt, hur mycket bandbredd, kodning och beräkningskraft man än har. Tabell 1 visar kravet för några effektiviteter.

Tabell 1. Lägsta möjliga $E_b/N_0$ och SNR för olika spektrala effektiviteter.

Figur 3 visar gränsen som kurva, tillsammans med de okodade metoderna. QPSK behöver ca 9,6 dB för bitfelsfrekvensen ${10}^{-5}$ medan gränsen vid samma effektivitet ($\eta =2$) är 1,76 dB, ett glapp på ca 7,8 dB. För 16-QAM är glappet ca 7,7 dB. Det glappet kan kodning återvinna: turbokoder (1993) och LDPC-koder (Gallagers koder från 1960-talet, återupptäckta på 1990-talet) kommer inom någon dB från gränsen.

Verkliga kanaler#

Shannons formel gäller för en kanal med fast SNR och vitt gaussiskt brus. Verkliga radiokanaler avviker på tre sätt.

• Fädning. SNR varierar i tiden på grund av flervägsutbredning (se Fresnelzon och fädning). Den genomsnittliga kapaciteten blir lägre än för en fast kanal med samma medel-SNR, och om sändaren inte vet hur kanalen ser ut måste man räkna med ett avbrott (outage) när kanalen tillfälligt är för dålig.
• Störning. I ett cellnät begränsas SNR av störning från andra celler, så man talar om signal-till-störning-och-brus (SINR). Kapacitetsformeln gäller fortfarande med SINR, men störningen är inte vitt brus.
• Flera antenner. Med flera antenner i både sändare och mottagare (MIMO, se Gruppantenner och MIMO) kan flera parallella dataströmmar sändas i samma band. Vid högt SNR och rik flervägsutbredning växer kapaciteten ungefär med antalet strömmar, som begränsas av det mindre antalet antenner. MIMO ökar alltså spektral effektivitet utan mer bandbredd eller effekt.

Länkadaptation#

Eftersom kanalens SNR varierar måste ett praktiskt system ändra sin hastighet efter den. Det kallas länkadaptation eller adaptiv modulation och kodning (AMC, eng. adaptive modulation and coding). Mottagaren mäter kanalens kvalitet och rapporterar tillbaka. Sändaren väljer sedan den metod, en kombination av modulation och kodtakt (andel av bitarna som bär information), som ger högsta hastighet vid tillräckligt låg felsannolikhet. I LTE rapporterar mobilen en kanalkvalitetsindikator (CQI), och basstationen väljer en av ett femtontal kombinationer från QPSK med låg kodtakt till 64-QAM med hög kodtakt eller 256-QAM i senare utgåvor. I Wi-Fi väljer sändaren bland ett tiotal ”MCS-nivåer” baserat på mottagna kvittenser.

Resultatet är en trappa av hastigheter som följer, med ett glapp, Shannonkurvan (figur 4). Varje trappsteg är en kombination av modulation och kodtakt. Närmar man sig bra täckning stiger hastigheten stegvis. Vid dålig täckning faller systemet tillbaka till robust QPSK med låg kodtakt. Kombineras detta med HARQ, där felaktiga paket sänds om med ytterligare felrättningsinformation, kan systemet köra nära gränsen för vad kanalen klarar (se Felrättande kodning).

Jämförelse av system#

Figur 5 jämför det högsta antalet kanalbitar per sekund och hertz för några system. Beräkningarna bygger på parametrarna i tabell 2, och kanalbitar betyder bitar som sänds över radiokanalen, inklusive felrättande kod och overhead. Informationen som når användaren är mindre. Vilka bitar som är nyttiga data styrs av kodtakten.

Tabell 2. Kanalbitar per sekund och hertz, beräknade ur systemens parametrar.

Skillnaden är stor: från 0,77 bit/s/Hz för den smalbandiga digitala landmobilradion till 9 bit/s/Hz för Wi-Fi 6. De lägre värdena betyder inte att DMR eller TETRA är ”sämre” utan att kraven är olika. De kräver robusthet vid svag signal och långa avstånd, medan Wi-Fi 6 bygger på korta avstånd och högt SNR. Ju högre effektivitet, desto högre SNR krävs, vilket i praktiken begränsar de effektiva systemen till korta avstånd eller goda förhållanden. Därför sänder samma LTE-system med QPSK vid cellkanten och 64-QAM nära basstationen.

Kontrollfrågor#