Fresnelzoner, diffraktion och flervägsutbredning

Fresnelzonens radie och 60 %-regeln, knivseggsdiffraktion, tvåstrålemodellen, Rayleigh- och Rice-fädning samt fördröjnings- och Dopplerspridning, med räkneexempel steg för steg.

Avancerad22 min läsningGranskad 25 oktober 2026

Innehåll

Fresnelzoner
1. Hur mycket måste vara fritt?
Knivseggsdiffraktion
Markreflexer och tvåstrålemodellen
Flervägsutbredning och småskalig fädning
Fördröjningsspridning och koherensbandbredd
Vad man gör åt fädning
Kontrollfrågor

Mellan två antenner tänker man sig gärna att radiovågen följer en smal rät linje. Så är det inte. Vågen breder ut sig i rummet, och därför kan ett träd, en kulle eller ett hustak en bit vid sidan av siktlinjen ändå dämpa eller förstärka signalen. Den här artikeln visar hur stort det fria utrymmet kring siktlinjen måste vara (Fresnelzonen), hur mycket ett hinder dämpar (diffraktion) och vad marken gör med signalen (tvåstrålemodellen). Sedan följer det som gör radiokanalen svårare än en tråd: när vågen tar flera vägar varierar nivån snabbt i tid, i rum och i frekvens (flervägsfädning).

I korthet

Första Fresnelzonen är den ellipsoid kring siktlinjen där vägen via en punkt är högst en halv våglängd längre än den raka. På en länk med längden $d$ km vid $f$ GHz är radien i mitten $r_{1} \approx 8,66 \sqrt{d / f}$ meter. I praktiken ska minst 60 % av radien vara fri.
Knivseggsdiffraktion: när siktlinjen precis tangerar ett hinder är extraförlusten ca 6 dB. Ligger hindret över siktlinjen växer förlusten med frekvensen och med hindrets höjd.
Tvåstrålemodellen: över plan mark faller signalen som $1 / d^{4}$ (40 dB per tiofaldigt avstånd) bortom brytavståndet $4 h_{1} h_{2} / λ$ . Fri rymd-dämpning är då en för optimistisk modell.
Rayleigh-fädning uppstår när många reflexer utan dominerande direktstråle summeras. Nivån är då 20 dB under medelvärdet 1 % av tiden och 30 dB under 0,1 % av tiden. Med en dominerande stråle (Rice-fädning) blir djupa nollor sällsyntare.
Fördröjningsspridning $σ_{τ}$ ger en koherensbandbredd $B_{c} \approx 1 / (5 σ_{τ})$ . En signal bredare än så fadar olika i olika delar av bandet (frekvensselektiv fädning). Dopplerspridning $f_{D} = v f / c$ gör fädningen tidsvarierande.

Fresnelzoner#

Enligt Huygens princip kan varje punkt på en vågfront ses som en ny källa till en liten sfärisk våg. Mottagaren ser summan av alla dessa bidrag. Bidragen från punkter nära siktlinjen kommer in ungefär i takt med den raka signalen, men punkter längre ut får en längre väg och därmed en annan fas. Ligger vägen via punkten en halv våglängd ( $λ / 2$ ) längre än den raka kommer bidraget i motfas och drar ned summan.

Det ger en indelning av rummet i Fresnelzoner (eng. Fresnel zones, efter Augustin Fresnel). Zon nummer $n$ består av de punkter där vägen sändare–punkt–mottagare är mellan $(n - 1) λ / 2$ och $n λ / 2$ längre än den raka vägen. Gränsen mellan zonerna är ellipsoider med sändaren och mottagaren som brännpunkter (figur 1). Bidragen från udda zoner (1, 3, …) adderas och bidragen från jämna zoner (2, 4, …) motverkar dem. Bidragen från efterföljande zoner tar nästan ut varandra parvis, och fältet i fri rymd motsvarar ungefär halva bidraget från första zonen. Därför är det första zonen som styr.

Figur 1. Första Fresnelzonen mellan sändare och mottagare. Vägen via en punkt på ellipsens kant är en halv våglängd längre än den raka. Bergsryggen skymmer inte siktlinjen men sticker in i zonen och dämpar ändå signalen.

Zonens radie på avståndet $d_{1}$ från sändaren och $d_{2}$ från mottagaren är

r_{n} = \sqrt{\frac{n λ d_{1} d_{2}}{d_{1} + d_{2}}}

vilket gäller när $r_{n}$ är mycket mindre än $d_{1}$ och $d_{2}$ . Med $λ = 0,2998 / f$ (våglängden i meter, $f$ i GHz) och avstånden i kilometer blir det en formel som är enkel att räkna med:

r_{n} \approx 17,32 \sqrt{\frac{n d_{1} d_{2}}{f (d_{1} + d_{2})}} m

Mitt på en länk med längden $d$ är $d_{1} = d_{2} = d / 2$ och formeln förenklas till $r_{1} \approx 8,66 \sqrt{d / f}$ meter. Radien växer med kvadratroten av länklängden och minskar med kvadratroten av frekvensen (figur 2). Zon nummer $n$ har radien $r_{n} = r_{1} \sqrt{n}$ , så den andra zonen är 1,41 gånger så bred som den första.

Figur 2. Första Fresnelzonens radie i mitten av länken som funktion av länklängden, r₁ = 8,66·√(d/f). Punkten är exemplet 20 km och 6 GHz, där r₁ = 15,8 m och 0,6 r₁ = 9,5 m.

Tabell 1. Första Fresnelzonens radie $r_{1}$ (m) mitt på länken.

Länklängd	0,45 GHz	2,4 GHz	6 GHz	23 GHz
5 km	28,9	12,5	7,9	4,0
20 km	57,7	25,0	15,8	8,1
50 km	91,3	39,5	25,0	12,8

Zonen är alltså inte smal. På 20 km och 450 MHz är den nästan 58 m i radie, och även vid 23 GHz är den 8 m. Det är därför en länk med fri sikt "för ögat" ofta ändå påverkas av skog, hustak och marken.

Hur mycket måste vara fritt?#

Fresnelzonen är inget skarpt gränsområde. När ett hinder successivt skjuts in mot siktlinjen svänger signalen med växande och avtagande amplitud kring fri rymd-nivån (figur 3 längre ned). Därför bygger man radiolänkar efter en tumregel, den så kallade 60 %-regeln: minst 60 % av första zonens radie ( $0,6 r_{1}$ ) ska vara fritt från hinder. Då är extraförlusten från hindret i praktiken noll. Regeln är en tumregel, och vid mindre frigång växer förlusten snabbt (tabell 2).

Eftersom jorden är böjd måste frigången räknas från den effektiva jordytan, där jordbuktens höjd i punkten $d_{1}$ km från ena änden och $d_{2}$ km från den andra är

h_{jord} = \frac{d_{1} d_{2}}{12,74 k} m

med $k$ som effektiv jordradiefaktor (normalt $k = 4 / 3$ , se effektiv jordradie). Vid kraftig underrefraktion kan $k$ sjunka till ca 2/3 eller lägre, och då "växer" jordbuktens höjd. Det är en vanlig orsak till långsamma fädningar på långa radiolänkar.

Räkneexempel: antennhöjd på en 40 km lång länk vid 6 GHz

Länken ligger över slät mark, så hindret är jordbukten i mitten ( $d_{1} = d_{2} = 20$ km).

Fresnelradie: $r_{1} = 17,32 \sqrt{\frac{20 \cdot 20}{6 \cdot 40}} = 17,32 \sqrt{1,667} = 22,4$ m, och $0,6 r_{1} = 13,4$ m.
Jordbukt för $k = 4 / 3$ : $h_{jord} = \frac{20 \cdot 20}{12,74 \cdot 4 / 3} = 23,5$ m.
Siktlinjen måste ligga minst $23,5 + 13,4 \approx 37$ m över marken i mitten. Med lika höga antenner i båda ändar och marknivån densamma i ändarna behövs alltså ca 37 m antennhöjd (plus eventuell terräng).
Kontroll vid underrefraktion, $k = 2 / 3$ : jordbukten blir $\frac{20 \cdot 20}{12,74 \cdot 2 / 3} = 47,1$ m, och siktlinjen ligger då $37 - 47,1 \approx - 10$ m, alltså 10 m under den effektiva marknivån. Hindret ligger då över siktlinjen, med $ν = \sqrt{2} \cdot 10 / 22,4 \approx 0,64$ och ca 11 dB extraförlust enligt diffraktionsformeln nedan.

Samma länk med fri sikt under normala förhållanden kan alltså tappa drygt 10 dB när luften ändrar sig. Därför finns fädningsmarginal i länkbudgeten (se fädningsmarginal) och därför räknar man för flera $k$ -värden när man planerar en lång länk.

Knivseggsdiffraktion#

När ett hinder skär in i Fresnelzonen eller skymmer siktlinjen böjs vågen ändå in bakom kanten. Det kallas diffraktion, och förlusten kan beräknas med modellen för en enda vass kant, knivseggen (eng. knife edge). Den är en idealisering, men den används som utgångspunkt i ITU-R P.526¹ och passar bra för en kulle eller en vägg som är smal i förhållande till våglängden.

Hindrets läge beskrivs med det dimensionslösa diffraktionsparametern $ν$ :

ν = h \sqrt{\frac{2 (d_{1} + d_{2})}{λ d_{1} d_{2}}} = \sqrt{2} \frac{h}{r_{1}}

Här är $h$ kantens höjd över siktlinjen (positiv när kanten sticker upp över siktlinjen, negativ när det finns fri sikt) och $r_{1}$ första Fresnelzonens radie i kantens läge. Den relativa frigången är $c / r_{1} = - ν / \sqrt{2}$ , där $c = - h$ . Förlusten ges för $ν > - 0,78$ av approximationen i P.526:

J (ν) = 6,9 + 20 \log_{10} (\sqrt{(ν - 0,1)^{2} + 1} + ν - 0,1) dB

För $ν \leq - 0,78$ , alltså frigång över ca 0,55 $r_{1}$ , sätts $J = 0$ . Figur 3 visar förlusten som funktion av frigången, och tabell 2 några värden.

Figur 3. Extradämpning från en knivsegg mot relativ frigång. Heldragen linje är den exakta Fresnel–Kirchhoff-lösningen, streckad är P.526-approximationen (gäller för frigång under 0,55 r₁). Vid frigången 0,6 r₁ är förlusten ca −0,4 dB, alltså ingen extraförlust.

Tabell 2. Knivseggsförlust mot relativ frigång (exakt beräkning). Negativ frigång betyder att kanten sticker upp över siktlinjen.

Relativ frigång $c / r_{1}$	$ν$	Extraförlust $J$
−1,0	1,41	16,3 dB
−0,5	0,71	11,8 dB
0 (tangerar)	0	6,0 dB
0,3	−0,42	2,4 dB
0,5	−0,71	0,4 dB
0,6	−0,85	−0,4 dB
0,86	−1,22	−1,4 dB
1,0	−1,41	−1,0 dB

Tre saker är värda att lägga märke till:

Vid tangering är förlusten 6 dB. Halva vågfronten är blockerad, och mottagaren får ungefär halva amplituden: $20 \log_{10} (1 / 2) = - 6$ dB.
Kring frigången 0,6 $r_{1}$ är förlusten noll. Därför fungerar 60 %-regeln. Ännu större frigång ger små pendlingar, som mest ca 1,4 dB, vilka beror på att udda och jämna zoner växelvis stärker och försvagar.
Förlusten växer med ν och därmed med frekvensen. Eftersom $ν$ är proportionell mot $h / r_{1}$ och $r_{1} \propto 1 / \sqrt{f}$ ökar $ν$ med $\sqrt{f}$ . För stora $ν$ (över ca 2) läggs 6 dB till varje gång $ν$ fördubblas, till exempel när hindret blir dubbelt så högt eller frekvensen fyra gånger så hög.

Räkneexempel: en ås på en 10 km lång länk vid 450 MHz

Länken är 10 km lång och en ås ligger mitt emellan ( $d_{1} = d_{2} = 5$ km), 30 m eller 100 m över siktlinjen.

Våglängd: $λ = 299,8 / 450 = 0,666$ m.
Fresnelradie vid åsen: $r_{1} = \sqrt{\frac{0,666 \cdot 5 000 \cdot 5 000}{10 000}} = \sqrt{1 665} = 40,8$ m.
Diffraktionsparameter: $ν = \sqrt{2} \cdot 30 / 40,8 = 1,04$ för 30 m och $ν = \sqrt{2} \cdot 100 / 40,8 = 3,47$ för 100 m.
Förlust för 30 m: $J = 6,9 + 20 \log_{10} (\sqrt{0, 94^{2} + 1} + 0,94) = 6,9 + 20 \log_{10} (2,31) = 14,2$ dB. För 100 m: $J = 6,9 + 20 \log_{10} (3,51 + 3,37) = 23,7$ dB.
Lägg till fri rymd-dämpningen på 10 km vid 450 MHz, $32,45 + 20 \log_{10} 10 + 20 \log_{10} 450 = 105,5$ dB (se fri rymd-dämpning). Totalförlusten blir ca $119,7$ dB respektive $129,2$ dB.

Vid 145 MHz på samma sträcka är $r_{1} = 71,9$ m, och $J$ blir 11,0 dB respektive 18,9 dB. Skuggan är alltså 3–5 dB grundare vid 145 MHz än vid 450 MHz, vilket stämmer med att diffraktion ger bättre täckning bakom kullar på lägre frekvenser (se skuggning och diffraktion).

Knivseggsmodellen har begränsningar. En verklig kulle eller byggnad är rundad och har en tjock topp, och då blir förlusten större än för en knivsegg, så modellen är i regel optimistisk. Med flera hinder efter varandra summerar man inte bara enkla förluster. Det finns approximativa metoder (Bullington, Epstein–Peterson, Deygout) som bygger på knivseggen och som ger olika svar för samma terräng, och noggrannheten är begränsad. Över stora områden används därför statistiska modeller (se utbredningsmodeller).

Markreflexer och tvåstrålemodellen#

Närmast en sändare med fri sikt finns nästan alltid ett andra bidrag: den signal som reflekteras mot marken. Tvåstrålemodellen (eng. two-ray ground reflection model) summerar den direkta strålen och den reflekterade. Antag plan jord, en reflektionskoefficient $Γ = - 1$ (vilket är en bra approximation vid mycket låg infallsvinkel, se Polarisation) och antennhöjderna $h_{1}$ och $h_{2}$ . Skillnaden i väglängd är då $Δ \approx 2 h_{1} h_{2} / d$ , och med $d$ mycket större än $h_{1}$ och $h_{2}$ blir den mottagna effekten

P_{r} = P_{t} G_{t} G_{r} {(\frac{λ}{4 π d})}^{2} \cdot 4 \sin^{2} (\frac{2 π h_{1} h_{2}}{λ d})

Faktorn $4 \sin^{2} (\dots)$ är det som skiljer från fri rymd. Den svänger mellan 0 (djupa nollor, där strålarna tar ut varandra) och 4 (+6 dB, där de adderas). Vid stort avstånd är sinusens argument litet, och $\sin x \approx x$ ger

L \approx 40 \log_{10} d - 20 \log_{10} (h_{1} h_{2}) dB

med $d$ och $h$ i meter och antennvinsten 0 dBi. Förlusten växer alltså med 40 dB per tiofaldigt avstånd ( $1 / d^{4}$ , jämför med 20 dB för fri rymd) och är oberoende av frekvensen. Gränsen mellan de två områdena är brytavståndet $d_{b} = 4 h_{1} h_{2} / λ$ , där det sista interferensmaximumet ligger (figur 4). Bortom ca $3 d_{b}$ är förlusten större än i fri rymd.

Figur 4. Tvåstrålemodellen vid 900 MHz med sändarantenn 30 m och mottagarantenn 1,5 m över plan mark (Γ = −1). Brytavståndet är 540 m. Nollorna nära sändaren är en följd av idealiseringen, där alla reflexer antas vara perfekta.

Modellen är idealiserad. Den förutsätter plan, slät mark, och reflexen är i verkligheten svagare och vid större infallsvinklar annorlunda för vertikal polarisation. Den tar inte hänsyn till byggnader eller kulle. Uppmätta effektexponenter ligger i städer vanligen mellan 2,7 och 3,5, och högre (3–5) i starkt skuggade stadsmiljöer². Verkligheten ligger alltså mellan fri rymd och tvåstrålemodellens fyra, och exponenterna används i utbredningsmodellerna i utbredningsmodeller.

Flervägsutbredning och småskalig fädning#

Utomhus i en stad eller inomhus kommer radiovågen sällan fram på en enda väg. Den reflekteras mot väggar och byggnader, böjs runt hörn och sprids av träd och föremål, och mottagaren tar emot summan av många kopior med olika fördröjning, amplitud och fas. Är vägarna några våglängder olika långa vänds fasen ett varv bara genom att antennen flyttas en halv våglängd, och då går summan från förstärkning till utsläckning. Detta kallas flervägsfädning (eng. multipath fading), eller småskalig fädning.

Det är bra att hålla isär tre skalor av variation (tabell 3). De hanteras med olika modeller och med olika marginaler.

Tabell 3. Tre skalor av signalvariation.

Skala	Orsak	Avstånd för märkbar ändring	Modell
Banförlust	Spridning av effekten och markreflexer	Kilometer	$d^{n}$ (fri rymd $n = 2$ , tvåstråle $n = 4$ )
Skuggning (långsam fädning)	Byggnader, kullar och träd som skymmer	Tiotals till hundratals meter	Log-normal fördelning i dB, standardavvikelse i storleksordningen 4–12 dB
Småskalig (snabb) fädning	Flervägsinterferens	En halv våglängd (17 cm vid 900 MHz)	Rayleigh eller Rice

Rayleigh-fädning#

Om mottagaren tar emot många oberoende bidrag av ungefär samma styrka, utan någon dominerande direktstråle, är summan enligt den centrala gränsvärdessatsen ungefär normalfördelad i både real- och imaginärdelen. Signalens amplitud följer då Rayleigh-fördelningen och dess effekt en exponentialfördelning. Sannolikheten att effekten understiger $x$ gånger medeleffekten är

P (p < x \bar{p}) = 1 - e^{- x}

Medianen ligger därför $10 \log_{10} (\ln 2) = - 1,6$ dB under medelvärdet. För små $x$ är sannolikheten ungefär $x$ , så varje 10 dB djupare fädning är tio gånger ovanligare, vilket ligger bakom fädningsmarginalerna i länkbudgeten. Figur 5 visar en simulerad Rayleigh-signal.

Figur 5. Simulerad Rayleigh-fädning (64 spridare med slumpad infallsvinkel och fas, Clarkes modell) för en mobil på 50 km/h vid 900 MHz. Streckad linje är −20 dB. Samma metod över 40 s ger i genomsnitt 10,6 nedgångar per sekund under −20 dB, i nivå med teorin (10,35 per sekund).

Rice-fädning#

Finns en dominerande stråle, till exempel en direktsignal med fri sikt eller en stark reflex, är fädningen mildare. Kvoten mellan effekten i den dominerande strålen och den sammanlagda effekten i de övriga kallas Rice-faktorn $K$ (ofta uppgiven i dB). Då $K = 0$ är fördelningen Rayleigh, och när $K$ växer minskar fädningen. För stora $K$ närmar sig amplituden ett fast värde. Tabell 4 och figur 6 visar att skillnaden är störst för djupa nollor: vid $K = 10$ dB är sannolikheten för 20 dB fädning ca 0,0008 %, jämfört med 1 % för Rayleigh.

Tabell 4. Sannolikhet att nivån är lägre än medeleffekten med $M$ dB.

$M$	Rayleigh ( $K = 0$ )	Rice, $K = 3$ dB	Rice, $K = 6$ dB	Rice, $K = 10$ dB
10 dB	9,5 %	4,6 %	1,6 %	0,074 %
20 dB	0,995 %	0,41 %	0,10 %	0,0008 %
30 dB	0,10 %	0,041 %	0,0094 %	0,00005 %

Figur 6. Fördelningsfunktion för Rayleigh- och Rice-fädning. Rice-kurvorna är beräknade med en icke-central khi-kvadratfördelning och kontrollerade mot simulering. Vid −20 dB är sannolikheten 1 % för Rayleigh men bara 0,10 % för K = 6 dB.

Doppler och fädningstakt#

När mottagaren rör sig förskjuts frekvensen hos varje infallande våg med $f_{D} \cos α$ , där $α$ är vinkeln mellan färdriktning och infallsriktning. Det största värdet är Dopplerfrekvensen

f_{D} = \frac{v}{λ} = \frac{v f}{c}

Summan av bidrag med olika förskjutning ger ett Dopplerspektrum mellan $- f_{D}$ och $+ f_{D}$ (Clarkes modell³). Hur snabbt fädningen sker beskrivs med två storheter, nivåpassagetakten $N_{R}$ (antal nedgångar per sekund under en nivå) och medelfädningstiden $\bar{τ}$ (hur länge nivån i snitt ligger under). Med $ρ$ som nivåns förhållande till effektivvärdet i amplitud är

N_{R} = \sqrt{2 π} f_{D} ρ e^{- ρ^{2}}, \bar{τ} = \frac{e^{ρ^{2}} - 1}{ρ f_{D} \sqrt{2 π}}

Kanalen kan anses konstant under koherenstiden $T_{c} \approx 0,423 / f_{D}$ , här ca 10 ms. En digital signal med symboler kortare än $T_{c}$ upplever långsam fädning. Vid höga hastigheter och höga frekvenser är kanalen snabbare: för ett tåg på 300 km/h blir $f_{D}$ ca 973 Hz vid 3,5 GHz (ca 723 Hz vid 2,6 GHz), och koherenstiden krymper till ca 0,4 ms. Det kräver täta pilotsymboler och breda underbärvågsavstånd i OFDM.

Eftersom nollorna ligger en halv våglängd från varandra kan man ibland rätta till en svag förbindelse genom att flytta antennen en kort sträcka. På 2 m (våglängd 2,08 m) räcker en förflyttning på några decimeter för att komma ur en djup nolla, medan det på 23 cm kräver några centimeter.

Fördröjningsspridning och koherensbandbredd#

Vägarna är olika långa, så kopiorna anländer vid olika tidpunkter. Fördelningen av effekt över fördröjning kallas effektfördröjningsprofil. Dess spridning mäts med den effektivvärdesvägda fördröjningsspridningen (eng. rms delay spread)

σ_{τ} = \sqrt{\overset{―}{τ^{2}} - {\bar{τ}}^{2}}, \bar{τ} = \frac{\sum P_{k} τ_{k}}{\sum P_{k}}, \overset{―}{τ^{2}} = \frac{\sum P_{k} τ_{k}^{2}}{\sum P_{k}}

där $P_{k}$ och $τ_{k}$ är effekt och fördröjning för väg $k$ . Typiska storleksordningar för fördröjningsspridningen är tiotals nanosekunder inomhus, några hundra nanosekunder i förort, en till några mikrosekunder i tät stadsmiljö och flera mikrosekunder i kuperad terräng⁴. Ju mer spritt det är, desto längre utsträckt blir en kort puls.

Fördröjningsspridningen har en spegelbild i frekvensplanet. Vid olika frekvenser interfererar vägarna olika, så kanalens överföring varierar med frekvensen. Hur långt man måste flytta sig i frekvens för att kanalen ska bli en annan beskrivs av koherensbandbredden $B_{c}$ . Två vanliga tumregler är

B_{c} \approx \frac{1}{50 σ_{τ}} (korrelation 0,9), B_{c} \approx \frac{1}{5 σ_{τ}} (korrelation 0,5)

Är signalens bandbredd $B$ mycket mindre än $B_{c}$ ser alla frekvenser i signalen ungefär samma kanal, och fädningen är flat (alla frekvenser fadar tillsammans). Är $B$ större än $B_{c}$ fadar olika delar av bandet olika, och fädningen är frekvensselektiv. Då smetas symbolerna ut i tid så att de stör varandra (intersymbolinterferens). Motmedlen är utjämnare i mottagaren eller att dela upp den breda kanalen i många smala som var och en är flat. Det senare är idén bakom OFDM.

Räkneexempel: två vägar med 1 µs fördröjning

Antag en direktstråle och ett eko som är 0,8 gånger så starkt i amplitud (effektkvot 0,64) och 1 µs försenat.

Kanalens överföring blir $| H (f) | = | 1 + 0,8 e^{- j 2 π f τ} |$ med $τ = 1$ µs.
Maximum är $1 + 0,8 = 1,8$ (+5,1 dB) och minimum $1 - 0,8 = 0,2$ (−14,0 dB). Nollorna ligger med avståndet $1 / τ = 1$ MHz (figur 7).
Fördröjningsspridningen är $σ_{τ} = τ \frac{a}{1 + a^{2}} = 1 μ s \cdot \frac{0,8}{1,64} = 0,49$ µs.
Koherensbandbredden är $B_{c} \approx 1 / (5 \cdot 0,49 μ s) \approx 410$ kHz (korrelation 0,5) och $1 / (50 \cdot 0,49 μ s) \approx 41$ kHz (korrelation 0,9).

En FM-kanal på 25 kHz är alltså smal i förhållande till $B_{c}$ och upplever flat fädning, där hela kanalen ligger i ett maximum eller i en dal beroende på var mottagaren står. En kanal på 3 MHz innehåller flera dalar och är frekvensselektiv.

Figur 7. Frekvensselektiv fädning med två vägar, 1 µs och amplitudkvot 0,8. Ett smalt band (orange) ser en i det närmaste platt kanal, men vilken nivå det ser beror på var dalarna ligger och flyttar sig när mottagaren rör sig. Ett brett band (blått) innehåller flera dalar.

Tidsspridning och frekvensspridning uppträder som ett par (tabell 5).

Tabell 5. Sambandet mellan spridning och koherens.

Orsak	Spridningsmått	Koherensmått	Följd när signalen är för bred eller för långsam
Olika väglängder	Fördröjningsspridning $σ_{τ}$	Koherensbandbredd $B_{c} \approx 1 / (5 σ_{τ})$	Frekvensselektiv fädning och intersymbolinterferens
Rörelse	Dopplerspridning $f_{D}$	Koherenstid $T_{c} \approx 0,423 / f_{D}$	Tidsvarierande (snabb) fädning, i OFDM interferens mellan underbärvågor

Vid 20 MHz bredd i stadsmiljö är $B$ mycket större än $B_{c}$ och kanalen är frekvensselektiv. Därför delar LTE och 5G sin bandbredd i underbärvågor med 15 kHz eller mer, och i Wi-Fi med 20 MHz kanaler och 64 underbärvågor är avståndet 312,5 kHz. Varje underbärvåg är smal i förhållande till $B_{c}$ och ser en nästan platt kanal. Hur mycket kapacitet fädningen kostar tas upp i kanalkapacitet.

Vad man gör åt fädning#

Man kan inte ta bort flervägsfädning, men man kan planera runt den och minska dess effekt.

Fri sikt och frigång. Håll minst 60 % av första Fresnelzonen fri och räkna med flera $k$ -värden (figur 3, exemplet ovan). Planera också för att träd växer.
Riktantenner. En smal lob tar bara emot de vägar som ligger inom lobens vinkelområde, så antalet ekon och därmed fördröjningsspridningen minskar (se riktantenner).
Marginal. Lägg in en fädningsmarginal som motsvarar den tillgänglighet man vill ha (se Länkbudget). För Rayleigh-kanalen kostar varje extra nia (tiofaldigt mindre bortfall) 10 dB. På radiolänkar finns metoder för att beräkna sannolikheten för fädning i ITU-R P.530⁵, och regn behandlas i mikrovåg och millimetervåg. Se även radiolänk.
Diversitet. Fadar två kanaler oberoende av varandra är det osannolikt att båda är djupa samtidigt. Man kan skilja kanalerna på plats (två antenner minst ca en halv våglängd isär, se antennkorrelation), på polarisation, på frekvens eller på tid. Räkneexemplet nedan visar hur mycket det ger.
Bredbandstekniker. Utjämnare, OFDM med cykliskt prefix och spridningsspektrum gör att en bred signal tål fördröjningsspridning.
Kodning och interfoliering. Felrättande kodning med interfoliering sprider ut bitarna så att en kort fädning ger få fel per kodord.

Kontrollfrågor#

Hur stor är första Fresnelzonens radie mitt på en 10 km lång länk vid 2,4 GHz, och hur mycket ska vara fritt?

$r_{1} = 8,66 \sqrt{10 / 2,4} = 17,7$ m. Enligt 60 %-regeln ska minst $0,6 \cdot 17,7 \approx 10,6$ m vara fritt från hinder.

Siktlinjen tangerar kanten på ett berg. Hur stor är förlusten, och varför?

Ca 6 dB. Halva vågfronten är blockerad, så amplituden halveras: $20 \log_{10} (1 / 2) = - 6$ dB.

En ås ligger 20 m över siktlinjen mitt på en 10 km lång länk vid 2,4 GHz. Hur stor är diffraktionsförlusten?

$λ = 0,125$ m och $r_{1} = 17,7$ m, så $ν = \sqrt{2} \cdot 20 / 17,7 = 1,60$ . Då är $J = 6,9 + 20 \log_{10} (\sqrt{1, 5^{2} + 1} + 1,5) = 6,9 + 20 \log_{10} (3,30) \approx 17,3$ dB, utöver fri rymd-dämpningen.

Varför ökar knivseggsförlusten med frekvensen?

Hindrets höjd i enheter av Fresnelradien, och därmed $ν = \sqrt{2} h / r_{1}$ , växer när $r_{1}$ minskar. Eftersom $r_{1} \propto 1 / \sqrt{f}$ ökar $ν$ med $\sqrt{f}$ , och med $ν$ ökar förlusten.

Vad händer med banförlusten om man dubblar basstationens antennhöjd bortom brytavståndet?

Förlusten blir $20 \log_{10} 2 \approx 6$ dB mindre, eftersom $L \approx 40 \log_{10} d - 20 \log_{10} (h_{1} h_{2})$ och den dubblerade höjden ger $h_{1} h_{2}$ gånger två.

Hur ofta understiger nivån medelvärdet med 30 dB vid Rayleigh-fädning, och vilken marginal behövs för 99,9 % tillgänglighet?

$1 - e^{- 0,001} \approx 0,1$ % av tiden, så en marginal på 30 dB ger ca 99,9 % tillgänglighet.

Beräkna Dopplerfrekvensen för ett fordon på 120 km/h vid 2 GHz.

$v = 33,3$ m/s och $f_{D} = v f / c = 33,3 \cdot 2 \cdot 10^{9} / 3 \cdot 10^{8} \approx 222$ Hz.

Fördröjningsspridningen är 2 µs. Är en kanal på 20 MHz flat eller frekvensselektiv, och hur löser OFDM det?

$B_{c} \approx 1 / (5 \cdot 2 μ s) = 100$ kHz, så en bandbredd på 20 MHz är mycket bredare än $B_{c}$ och kanalen är frekvensselektiv. OFDM delar kanalen i smala underbärvågor (till exempel 15 kHz) som var och en är mycket smalare än $B_{c}$ och därför ser en platt kanal.

ITU-R P.526-16 (2025). Formeln för $J (ν)$ gäller för $ν > - 0,78$ . Jämförelsen med den exakta Fresnel–Kirchhoff-lösningen i artikeln är egen beräkning. ↩
T. S. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice (2002). Värdena är typiska storleksordningar från mätningar i äldre mobilnät och har inte kontrollerats mot nyare modeller, se utbredningsmodeller. ↩
R. H. Clarke, Bell System Technical Journal 47(6), 1968, och W. C. Jakes (red.), Microwave Mobile Communications (1974). Formlerna för nivåpassager och fädningstid gäller för Rayleigh-fädning med jämn spridning i horisontalplanet. ↩
T. S. Rappaport (2002) och D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel (2000). Typiska storleksordningar, som varierar mycket mellan miljöer och frekvenser. Siffrorna har inte kontrollerats mot moderna kanalmodeller. ↩
ITU-R P.530-19 (09/2025) är gällande utgåva enligt itu.int. Artikeln återger inga formler därifrån. ↩
A. Goldsmith, Wireless Communications (2005). Uttrycken gäller två oberoende grenar med samma medelnivå. ↩

Källor och vidare läsning

ITU-R (2025). Recommendation ITU-R P.526-16: Propagation by diffraction. Källa till knivseggsformeln J(ν). P.526-15 är den version som Radioreglementet hänvisar till. Hämtad 25 oktober 2026.
ITU-R (2025). Recommendation ITU-R P.530-19: Propagation data and prediction methods required for the design of terrestrial line-of-sight systems. Gällande utgåva enligt itu.int (09/2025). Artikeln återger inga formler ur P.530, men den är standardreferensen för fädning på radiolänkar. Hämtad 25 oktober 2026.
Prentice Hall (2002). T. S. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, 2:a uppl.. Kapitel 3–5: tvåstrålemodellen, Doppler, fördröjningsspridning, koherensbandbredd, nivåpassager och fädningstid.
Bell System Technical Journal 47(6) (1968). R. H. Clarke, A statistical theory of mobile-radio reception. Grundartikeln om Rayleigh-fädning och Dopplerspektrum för en mobil omgiven av spridare.
Wiley (IEEE Press) (1974). W. C. Jakes (red.), Microwave Mobile Communications. Klassiskt standardverk om nivåpassager, fädningstid och simulering av fädning.
Wiley (2000). D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel, 2:a uppl.. Fördröjningsspridning, kanalmodeller och diversitet.
Cambridge University Press (2005). A. Goldsmith, Wireless Communications. Rice-fördelning, diversitetskombinering och skuggning.

Läs vidare

Citera den här sidan

Använd gärna kunskapsbanken som källa i rapporter och uppsatser. Ange alltid datum, eftersom regler och tilldelningar ändras.

APA 7

SRFA Kunskapsbank. (2026). Fresnelzoner, diffraktion och flervägsutbredning. Sveriges Radiofrekvensallokering. https://srfa.se/kunskap/vagutbredning/fresnelzon-och-fadning/

Harvard

Sveriges Radiofrekvensallokering (2026). Fresnelzoner, diffraktion och flervägsutbredning. SRFA Kunskapsbank. Tillgänglig: https://srfa.se/kunskap/vagutbredning/fresnelzon-och-fadning/ (hämtad 24 oktober 2026).

Kunskapsbanken är en sammanställning för utbildning och referens. Den ersätter inte gällande föreskrifter och ger ingen rätt att sända. Kontrollera alltid aktuella villkor hos PTS.