Utbredningsmodeller och täckningsberäkning

Fri rymd-formeln i fri rymd-dämpning och länkbudget gäller så länge inget är i vägen. En mobilmast i en stad, en repeater på en höjd eller en 5G-cell i ett köpcentrum har byggnader, kullar och träd längs vägen, och dämpningen blir tiotals dB större. En utbredningsmodell är en beräkningsmetod som ger den förväntade banförlusten för en given situation, med hänsyn till avstånd, frekvens, antennhöjder och omgivning. Artikeln går igenom hur modellerna är byggda, hur Okumura–Hata, COST 231, 3GPP:s modeller och ITU-R:s metoder används med räknade exempel, och hur man går från en banförlust till en täckningskarta med en angiven sannolikhet.

Vad en utbredningsmodell gör#

Alla modeller besvarar samma fråga: hur stor är banförlusten $L$ mellan en sändare och en mottagare på en viss plats? Svaret ersätter fri rymd-dämpningen i länkbudgeten. Modellerna skiljer sig i hur de är gjorda:

• Empiriska modeller är formler som anpassats till mätningar. De är enkla och snabba, men gäller bara inom de frekvenser, avstånd och antennhöjder som mätningarna täckte. Okumura–Hata och 3GPP:s modeller hör hit.
• Terrängbaserade modeller läser en höjdprofil mellan sändare och mottagare och räknar diffraktion över kullar och hinder, i princip som i knivseggsdiffraktion. De ger olika svar i olika riktningar. ITU-R:s P.452 och P.1812 och ITM (Longley–Rice) är exempel.
• Semi-empiriska modeller kombinerar en förenklad fysikalisk bild med empiriska korrektioner. COST 231 Walfisch–Ikegami beskriver diffraktion över hustaken i en stad med några få byggnadsparametrar.
• Strålföljning räknar reflexer och diffraktion i en tredimensionell modell av miljön (se längre ned).

Modellerna i artikeln beskriver utbredning nära marken på VHF och högre frekvenser. Kortvåg via jonosfären (se kortvågsutbredning) och markvåg på lägre frekvenser (se markvåg) beräknas på annat sätt.

Man skiljer också på punkt-till-punkt (en bestämd förbindelse, till exempel en radiolänk eller en repeaterlänk, där profilen granskas) och punkt-till-yta (täckning: banförlusten beräknas för tusentals punkter runt en sändare).

Tabell 1. Modeller som behandlas i artikeln. Ett streck betyder att uppgiften inte återges här.

Banförlustexponent och skuggning#

Den enklaste modellen är log-avståndsmodellen:

Här är $d_0$ ett referensavstånd där förlusten är känd (till exempel 1 m, eller 100 m efter en mätning), $n$ är banförlustexponenten och $X_{\sigma }$ en slumpvariabel som beskriver skuggningen. I fri rymd är $n=2$ och förlusten ökar 6 dB för varje fördubblat avstånd. Vid $n=\mathrm{3,5}$ ökar den 10,5 dB. Okumura–Hata och 3GPP-modellerna är i grunden av den här formen, med $L(d_0)$ och $n$ uttryckta som funktion av frekvens och antennhöjder. Tabell 2 är uträknad ur modellernas formler.

Tabell 2. Banförlustexponenten $n$ i några modeller (förlust per tiofaldigt avstånd delat med 10).

Exponenten är alltså 3–4 i bebyggd miljö utan fri sikt. I Hata minskar den med basantennens höjd, vilket kan förstås som att en högre antenn "ser" längre över taken. Ett värde under 2, som InH med fri sikt, brukar förklaras av att väggar, golv och tak håller kvar energin i rummet. Brytpunkten i LOS-modellerna är samma effekt som i tvåstrålemodellen: efter den faller signalen med fjärde potensen av avståndet.

Skuggning är de långsamma variationerna kring medianen när mottagaren rör sig bakom hus, kullar och träd, över avstånd på tiotals meter. Den snabba småskaliga fädningen över några våglängder är medelvärdesbildad bort. Mätningar visar att skuggningen i dB är approximativt normalfördelad (log-normal i linjär skala), så $X_{\sigma }~N(0,{\sigma }^2)$. 3GPP:s modeller anger $\sigma$ mellan 3 dB (inomhus, fri sikt) och 8 dB (inomhus utan fri sikt); se tabell 6. Modellvärdet $L$ är därför en median: på hälften av platserna vid ett givet avstånd är förlusten lägre, på hälften högre.

Okumura–Hata#

Okumura–Hata är den mest använda empiriska modellen för mobilradio på 150–1 500 MHz. Den bygger på mätkurvor som Yoshihisa Okumura och medarbetare tog fram i och kring Tokyo, och som Masaharu Hata 1980 gjorde om till formler.¹ För tätbebyggd stad är banförlusten

med $f$ i MHz, basantennens höjd $h_b$ och mobilens höjd $h_m$ i meter över omgivande mark och avståndet $d$ i km. Mobilkorrektionen är för en liten eller medelstor stad

och för en storstad $a(h_m)=\mathrm{8,29}[{\log }_{10}(\mathrm{1,54}{h}_m){]}^2-\mathrm{1,1}$ vid $f\le 200$ MHz respektive $a(h_m)=\mathrm{3,2}[{\log }_{10}(\mathrm{11,75}{h}_m){]}^2-\mathrm{4,97}$ vid $f\ge 400$ MHz. För mindre tät bebyggelse subtraheras korrektioner:

"Förort" avser glesare bebyggelse som småstäder och villaområden med träd, "öppet" mark utan högre hinder, till exempel jordbruksland. Giltighetsområdet är $f$ = 150–1 500 MHz, $h_b$ = 30–200 m, $h_m$ = 1–10 m och $d$ = 1–20 km.² Samma formel finns i formelsamlingen.

Tabell 4. Banförlust (dB) enligt Okumura–Hata vid 900 MHz, $h_b$ = 30 m, $h_m$ = 1,5 m.

Modellen visar tre saker. För det första är lutningen mycket brantare än i fri rymd: 35,2 dB per dekad mot 20 dB. För det andra spelar antennhöjderna stor roll. Dubbleras basantennen från 30 till 60 m sjunker förlusten vid 5 km med 5,5 dB, och höjs mobilantennen från 1,5 till 3 m sjunker den med 3,8 dB. För det tredje växer förlusten snabbare med frekvensen än i fri rymd: från 435 till 900 MHz ökar den med 8,2 dB vid 5 km (142,8 mot 151,0 dB), där fri rymd bara ger 6,3 dB.

COST 231-Hata#

COST 231 var ett europeiskt forskningssamarbete som i slutrapporten 1999 utvidgade Hata uppåt i frekvens, till 1 500–2 000 MHz (till exempel GSM 1800).³ Formeln har samma uppbyggnad som Hata, men andra konstanter och en korrektionsterm $C_m$:

Här är $a(h_m)$ samma som i Hata. $C_m$ är 0 dB för medelstora städer och förortscentra med måttlig trädtäthet och 3 dB för storstadscentra. Giltighetsområdet är $f$ = 1 500–2 000 MHz, $h_b$ = 30–200 m, $h_m$ = 1–10 m och $d$ = 1–20 km, och basantennen ska ligga över hustaken.

Frekvensberoendet är starkare än i Hata (33,9 mot 26,16 dB per dekad av frekvens). Vid 1 500 MHz och 5 km ger COST 231-Hata 158,1 dB och Hata 156,8 dB, en skillnad på 1,3 dB. Vid 2 000 MHz är COST 162,4 dB (med $C_m=0$) och Hata, extrapolerad utanför sitt område, 160,1 dB. Extrapolerad Hata underskattar alltså förlusten med 2,3 dB, och i en storstad med $C_m=3$ dB med 5,3 dB.

COST 231 Walfisch–Ikegami#

Hata ger samma värde för alla städer. COST 231 Walfisch–Ikegami (COST-WI) tar in byggnadsdata: takhöjd, gatubredd, avstånd mellan hus och gatans riktning. Modellen kombinerar två teoretiska modeller för diffraktion över hustak, Walfisch–Bertoni och Ikegami, med empiriska korrektioner. Signalen från basstationen diffrakteras över raden av hustak och därefter ned i gatan till mobilen, och förlusten byggs upp av tre termer: fri rymd, förlust från taket till gatan och förlust genom diffraktion över flera tak.⁴ Giltighetsområdet är $f$ = 800–2 000 MHz, $h_b$ = 4–50 m, $h_m$ = 1–3 m och $d$ = 0,02–5 km. Eftersom byggnadsparametrarna ingår kan modellen även användas när basantennen ligger under taknivå, till skillnad från Hata.

ITU-R:s modeller#

ITU-R P.1546 (utgåva 6, 2019) är en punkt-till-yta-metod för 30–4 000 MHz på sträckor upp till 1 000 km. Den bygger på kurvor för 1 kW e.r.p. vid 100, 600 och 2 000 MHz, givna för 50, 10 och 1 % av tiden och 50 % av platserna. Kurvorna interpoleras till den aktuella frekvensen, antennhöjden och sträckan och korrigeras för bland annat terrängen. Rekommendationen är avsedd för rundradio, landmobila och sjömobila tjänster och vissa fasta tjänster.⁵ Tidsprocenten spelar roll: täckning gäller nivån som nås större delen av tiden, störning nivån som överskrids under en liten andel av tiden.

ITU-R P.452 (utgåva 18, 2023) är en terrängbaserad metod för att bedöma störningar mellan stationer på jordytan över ca 100 MHz. Den räknar med utbredning i klar luft och spridning mot hydrometeorer (regn), för tidsprocent från 0,001 till 50 %. Små tidsprocent fångar sällsynta fall med ovanligt god utbredning, som ducting. ITU-R P.1812 (utgåva 8, 2025) är en terrängprofilbaserad punkt-till-yta-metod för 30–6 000 MHz. Båda tar en höjdprofil som indata och kräver därför terrängdata (se avsnittet om terräng nedan).

3GPP:s modeller för 5G#

För mobilnät över 0,5 GHz räcker inte Hata, som slutar vid 2 GHz. 3GPP:s tekniska rapport TR 38.901, en kanalmodell för studier av 5G och dess föregångare i frekvensområdet 0,5–100 GHz, innehåller banförlustformler för flera scenarier.⁶ Tre behandlas här: UMa (urban macro, basantenn över taken, 25 m), UMi (urban micro, gatumiljö mellan hus, antenn 10 m) och InH (inomhus, kontor). Det finns också ett landsbygdsscenario (RMa) som inte behandlas. Varje scenario har en formel med fri sikt (LOS) och en utan (NLOS). $d_{3D}$ är avståndet i tre dimensioner i meter och $f_c$ frekvensen i GHz. För UMa med fri sikt gäller

där $P{L}_1$ gäller för $10\text{m}\le d_{2D}\le d_{BP}^{\prime }$ och $P{L}_2$ för $d_{BP}^{\prime }<d_{2D}\le 5$ km. Brytpunkten är $d_{BP}^{\prime }=4h_{BS}^{\prime }{h}_{UT}^{\prime }{f}_c/c$, där $h^{\prime }=h-h_E$ och miljöhöjden är satt till $h_E=1$ m. För NLOS är $PL=max(P{L}_{LOS},P{L}_{NLOS}^{\prime })$ med

Tabell 6. Formler och skuggningsspridning $\sigma$ i TR 38.901 ($d_{3D}$ i m, $f_c$ i GHz). I UMi är $h_{BS}$ = 10 m, och bortom brytpunkten gäller $P{L}_2=\mathrm{32,4}+40{\log }_{10}{d}_{3D}+20{\log }_{10}{f}_c-\mathrm{9,5}{\log }_{10}(d_{BP}^{\prime 2}+(h_{BS}-h_{UT}{)}^2)$.

Gränserna i UMa är $h_{UT}$ = 1,5–22,5 m och $d_{2D}$ = 10 m–5 km. InH med fri sikt gäller 1–150 m. Standarden anger även alternativa NLOS-formler med enklare frekvensberoende.

Tabell 7. Banförlust (dB) enligt TR 38.901 vid ett typiskt avstånd för varje scenario, $h_{UT}$ = 1,5 m.

I InH är LOS-förlusten lägre än fri rymd eftersom exponenten är 1,7. Formeln är anpassad till 1–150 m och ska inte extrapoleras längre. TR 38.901 är en kanalmodell för studier och simuleringar. Formlerna ger en median per scenario och tar inte hänsyn till enskilda väggar, träd eller väder, och passar därför bäst för att förstå skalan och jämföra frekvenser. Vid nätplanering kalibreras modeller normalt mot mätningar (se nedan).

Terräng, byggnader och strålföljning#

Empiriska modeller vet bara "stad" eller "förort". För en bestämd plats behövs data:

• Höjdmodeller (digital elevation model, DEM) ger markens höjd på ett rutnät. SRTM, från rymdfärjans radarkartläggning, har rutor på 1 bågsekund (ca 30 m i nord–sydlig riktning) eller 3 bågsekunder (ca 90 m). Den täcker bara mellan 60° nord och 56° syd.⁷ Lantmäteriets "Markhöjdmodell Nedladdning, grid 1+" har rutor på 1 m och är interpolerad ur Nationell höjdmodell.
• Markanvändning (clutter) anger om en ruta är skog, åker, tät bebyggelse eller vatten, så att en korrektion per klass kan läggas till.
• Byggnadsdata med höjder och fotavtryck behövs för modeller som COST-WI och för strålföljning.

Med en profil kan man räkna diffraktion över varje hinder, i enklaste fall som en knivegg med Fresnelzoner, och lägga till markreflexer. ITM (Irregular Terrain Model, även kallad Longley–Rice) är en sådan modell och används i programmen Radio Mobile och SPLAT!. Radio Mobile (VE2DBE) är ett Windows-program som beräknar länkar och täckning med ITM i 20–20 000 MHz och läser SRTM- och DTED-höjddata. SPLAT!, av John A. Magliacane (KD2BD), är öppen källkod och ger täckningskartor med ITM och SRTM-data.

Strålföljning (ray tracing) följer ett stort antal strålar från sändaren genom en tredimensionell byggnadsmodell. Varje stråle kan reflekteras, spridas och diffrakteras, och strålarna som når mottagaren summeras med rätt fas och fördröjning. Metoden kräver noggranna byggnadsdata och mycket beräkningstid. Den används framför allt för mikroceller, inomhusmiljöer och millimetervåg, där byggnadernas geometri avgör mer än i en makrocell.

Från modell till täckningskarta#

Täckningsberäkningar används i mobilnät för att placera master och planera celler, men också för rundradio, repeatrar och länkar. Arbetsgången är densamma oavsett verktyg (figur 5). Indata är sändarens position, antennhöjd, effekt, antennens vinst och diagram, frekvens samt terräng- och markdata. För varje rutnätspunkt runt sändaren hämtas en profil, och modellen ger medianförlusten. Därefter jämförs mottagen nivå med kravet: mottagen effekt är $P_t+G_t-L+G_r$ (se länkbudget). Skuggningen och eventuell byggnadsdämpning läggs in som marginal, och resultatet blir en sannolikhet per punkt som färgkodas i kartan.

Resultatet är bara så bra som modellen och indata. Därför kalibrerar man: med mätkörningar (drive tests), där en mottagare mäter nivån längs vägar, anpassas modellens parametrar tills kartan stämmer med mätningarna, som i tabell 3. En modell som kalibrerats i en stad bör kalibreras om i en annan.

Täckningssannolikhet och marginaler#

Eftersom skuggningen är normalfördelad kring medianen är sannolikheten att mottagen nivå överstiger tröskeln, när medianen ligger $M$ dB över den,

där $\Phi$ är normalfördelningens fördelningsfunktion. Omvänt krävs för en önskad sannolikhet marginalen $M=z\sigma$. Vid $M=0$ är sannolikheten 50 %: precis i kanten av medianradien tappas hälften av platserna. Tabell 8 ger marginalerna.

Tabell 8. Marginal $M=z\sigma$ (dB) över medianen för en given täckningssannolikhet.

Marginalen kostar mycket räckvidd. Med $\sigma =8$ dB och 90 % täckning vid cellkanten krävs 10,3 dB. Med Hatas lutning 35,2 dB per dekad krymper radien med faktorn ${10}^{-\mathrm{10,25}/\mathrm{35,22}}=\mathrm{0,51}$, alltså till hälften. Städernas 2,43 km i det tidigare cellradieexemplet blir 1,24 km, förorternas 4,66 km blir 2,38 km och den öppna markens 15,7 km blir 8,0 km. För 95 % krävs 13,2 dB och radien blir $\mathrm{0,42}$ av medianradien.

Två förtydliganden. Dels avser sannolikheten cellkanten. Ytan som helhet täcks bättre, eftersom punkter närmare basstationen har mer marginal. Dels är det skuggningen som tas med här; den snabba fädningen kräver egen marginal enligt fädningsmarginal. Flera oberoende fördelningar i dB (skuggning, byggnadsdämpning) kombineras genom att deras varianser summeras: ${\sigma }_{tot}=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$, till exempel $\sqrt{8^2+4^2}=\mathrm{8,9}$ dB.

Kontrollfrågor#