Gruppantenner, lobformning och MIMO

En enda antenn har ett fast strålningsdiagram, och för att ändra det måste man vrida eller byta antennen. En gruppantenn består i stället av många små antennelement. Genom att styra hur signalen delas upp mellan dem, med olika fas och amplitud, kan man forma och rikta lobens form utan att flytta något. Samma princip finns i radar, satellitterminaler och Wi-Fi, och den är grunden för 5G:s massiva MIMO. Den här artikeln går från gruppfaktorn för en enkel rad av element till hur mobilnäten betjänar flera användare samtidigt.

Gruppantenn och elementdiagram#

Anta att $N$ identiska antenner står på en rad med avståndet $d$ mellan dem och matas med samma signal. I riktningen vinkelrätt mot raden, gruppens normal (eng. broadside), kommer fälten från alla element fram i fas och adderas: fältstyrkan blir $N$ gånger så stor som för ett element, och effekten $N^2$ gånger så stor. Samtidigt tillförs bara $N$ gånger så mycket effekt, så riktverkan ökar med faktorn $N$, alltså $10{\log }_{10}N$ dB (gruppvinsten). I andra riktningar skiljer sig vägen till de olika elementen, och fälten adderas med olika fas och släcker delvis ut varandra. Resultatet är en smalare lob.

Diagrammet för hela gruppen är produkten av två faktorer, vilket kallas diagrammultiplikation:

Elementdiagrammet $E_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ är diagrammet för ett enda element (se Antennparametrar). Gruppfaktorn $\mathrm{A}\mathrm{F}$ (eng. array factor) beskriver bara geometrin och vikterna, som om elementen vore isotropa punktkällor. I den här artikeln beräknas alla diagram ur gruppfaktorn, och elementdiagrammet läggs på när det behövs. Principen gäller lika för sändning och mottagning, eftersom antenner är reciproka (se Så fungerar en antenn).

Gruppfaktorn för en linjär grupp#

För en rad om $N$ element med avståndet $d$ och komplexa vikter $w_n$ är gruppfaktorn

där $\phi$ räknas från gruppens normal. Fasen $\psi$ är den extra fasförskjutning som vägskillnaden ger mellan två grannelement, och summan beskriver hur de $N$ bidragen adderas som visare i det komplexa talplanet.

Direktivitet. Med $N$ isotropa element på avståndet $d=\lambda /2$ blir direktiviteten exakt $N$, alltså $10{\log }_{10}N$ dBi. För $N=8$ är det 9,03 dBi. Det är ingen slump: just vid $d=\lambda /2$ täcker $\psi$ en hel period när $\phi$ går mellan $-{90}^{\circ }$ och ${90}^{\circ }$, så integralen av gruppfaktorn över rymden blir densamma oavsett styrning. Med riktiga element läggs elementets egen direktivitet ovanpå.

Halvvärdesbredd. Huvudlobens bredd vid −3 dB är för en likformig grupp ungefär

där $Nd$ är gruppens längd (aperturen) och ${\phi }_0$ riktningen loben styrs mot. Formeln gäller bra för stora grupper och måttliga vinklar.

Fasstyrning#

Loben kan riktas utan att flytta antennen. Om man ger element nummer $n$ fasen $-n\beta$, där $\beta =2\pi d\sin {\phi }_0/\lambda$, så blir gruppfaktorns fasterm $\psi =(2\pi d/\lambda )(\sin \phi -\sin {\phi }_0)$ och maximum hamnar vid $\phi ={\phi }_0$. Varje element får alltså en lite större fördröjning än sin granne, som om vågfronten kom in snett. Samma fasprogression i mottagning gör att gruppen "lyssnar" åt ett visst håll.

Figur 2 visar åtta element styrda mot 0°, 30° och 60°. Tre saker syns:

• Huvudloben följer styrvinkeln, och den är spegelsymmetrisk över gruppens axel. Isotropa element strålar lika åt båda hållen; riktiga grupper har ett jordplan eller element som släcker bakåtstrålningen.
• Loben blir bredare när den styrs bort från normalen. Gruppens synliga längd i strålriktningen är $Nd\cos {\phi }_0$, och den krymper. Halvvärdesbredden är 12,8°, 14,8° och 28,9° för 0°, 30° och 60°.
• Vid 60° syns en stor lob mot −90° (längs gruppens axel). Det är början på en gittersidlob, eftersom $d=\mathrm{0,5}\lambda$ ligger nära gränsen 0,536 λ för den styrvinkeln (se nästa avsnitt).

Skanningsförlust#

Riktiga element strålar mindre åt sidorna, och därför sjunker den uppnåbara vinsten när loben styrs bort från normalen. Om elementets effektdiagram är proportionellt mot $\cos \phi$, ungefär som för ett plant element med fast yta, sjunker vinsten med $10{\log }_{10}\cos {\phi }_0$ dB. Det är 0,6 dB vid 30° och ca 3 dB vid 60°. Figur 3 visar att toppnivån följer elementdiagrammet. I praktiken begränsas därför skanningen av en plan grupp till ungefär ±60° från normalen, och för att täcka alla håll används flera paneler, till exempel tre paneler som vardera täcker en sektor om 120°.

Fasvridare och tidsfördröjning#

I en fasstyrd grupp använder man vanligen fasvridare (eng. phase shifters), som ger samma fasförskjutning oavsett frekvens. Men den fasförskjutning som riktar loben rätt beror på frekvensen: vägskillnaden $d\sin {\phi }_0$ är en längd, och fasen är den längden delad med våglängden. Ändras frekvensen från $f_0$ till $f$ med oförändrade faser flyttar sig loben, vilket kallas strålsväng (eng. beam squint):

Därför används verkliga tidsfördröjningar (eng. true time delay) i mycket bredbandiga eller mycket stora grupper: en fördröjning $\tau =d\sin {\phi }_0/c$ per element ger en lob som pekar åt samma håll vid alla frekvenser.

Elementavstånd och gittersidlober#

Om elementen står för långt från varandra kan vägskillnaden bli en hel våglängd i en annan riktning än huvudriktningen, och då adderas fälten i fas även där. Det blir en kopia av huvudloben, en gittersidlob (eng. grating lobe). Gruppfaktorn upprepas när $\psi$ ökar med $2\pi$, och en kopia hamnar i det synliga området när

För att undvika gittersidlober vid styrning till ${\phi }_0$ måste alltså

Tabell 1. Största elementavstånd utan gittersidlober, beräknat med formeln ovan.

Därför är halv våglängd standardavståndet: det är det största avstånd som tillåter styrning över hela halvrymden. Figur 4 visar åtta element styrda till 30°. Vid 0,5 λ finns bara en lob. Vid 0,75 λ uppstår en lika stark gittersidlob vid −56,4°, och vid 1,0 λ vid −30°. Gittersidloben delar upp effekten mellan riktningar och kan ge störningar och felaktiga mätningar, till exempel i radar.

Hur påverkar avståndet vinsten? Tabell 2 visar direktiviteten för åtta isotropa element riktade mot normalen.

Tabell 2. Direktivitet för åtta isotropa element i en rad riktade mot normalen, beräknad numeriskt.

Större avstånd ger en längre apertur och därför mer vinst, upp till den punkt där gittersidloberna börjar ta effekt. Tätare avstånd än en halv våglängd ger en kortare apertur och därför lägre vinst. Verkliga antenner har även koppling mellan elementen (eng. mutual coupling), som ändrar elementens impedans och diagram och som måste tas med i konstruktionen.

Viktning och sidolober#

Den likformiga gruppens första sidolob ligger på −13 dB, vilket är för högt i många tillämpningar. Matar man mittelementen starkare än ytterelementen, viktar man gruppen, och sidoloberna sjunker. Priset är en bredare huvudlob och lägre direktivitet, eftersom aperturen utnyttjas sämre.

Dolph–Chebyshev-viktning ger den smalaste huvudloben för en given sidolobsnivå, med alla sidolober lika höga. Figur 1, nedre delen, visar tio element: med −30 dB sidolober blir halvvärdesbredden 13,0° i stället för 10,2°, och direktiviteten sjunker från 10,00 till 9,28 dBi, alltså 0,7 dB. Tillverkare väljer en kompromiss. Samma teknik styr nollor: genom att välja vikter kan man lägga ett nollställe i diagrammet i riktningen mot en störande sändare, så att den dämpas när gruppen tar emot. Det används i radar och i mobilnät för att minska störning.

Aktiva och passiva fasstyrda grupper#

I en passiv fasstyrd grupp (PESA) matas alla element från en gemensam sändare via fasvridare. I en aktiv grupp (AESA, eng. active electronically scanned array) har varje element, eller liten grupp av element, en egen sändar- och mottagarmodul med förstärkare, fasvridare och ofta en egen LNA. Fördelarna är att effekten genereras nära antennen utan förluster i fördelningsnätet, att gruppen kan sända flera lober och frekvenser samtidigt, och att den fungerar vidare med lägre prestanda om enstaka moduler går sönder. Tekniken används i radar (se Radarteknik), i satellitterminaler (se Satellitkommunikation) och i mobilnätens basstationer, där de kallas aktiva antennsystem (eng. active antenna systems, AAS).

Analog, digital och hybrid lobformning#

Det finns tre sätt att bygga en lobformande grupp, och de skiljer sig i var i kedjan lobens form bestäms (figur 5).

Tabell 3. Jämförelse av de tre arkitekturerna.

I analog lobformning står fasvridarna i radiofrekvens, och alla element summeras till en enda signal som går till en enda sändar- och mottagarkedja med omvandlare (ADC eller DAC, se I/Q-signaler, sampling och digital signalbehandling). Det är billigt men ger en lob i taget. I digital lobformning har varje element en egen kedja, och vikterna $w_n$ räknas i digital signalbehandling. Då går det att bilda många lober samtidigt, ge olika lober åt olika frekvensdelar (till exempel i OFDM, se OFDM) och anpassa sig till kanalen. Priset är antalet kedjor, som kostar pengar och ström. På millimetervåg, där bandbredden är hundratals megahertz och omvandlarnas effektförbrukning blir en flaskhals, är hybrid lobformning vanlig: analoga delgrupper med fasvridare, och några få digitala kedjor ovanpå.

MIMO: flera antenner i båda ändar#

Lobformning handlar om att samla effekt i en riktning. MIMO (eng. multiple-input multiple-output) använder flera antenner både vid sändaren och mottagaren för att skicka flera parallella dataströmmar över samma frekvens. Det går eftersom varje antennpar ser en något annorlunda radiokanal, när signalen färdas via flera vägar (reflektioner mot byggnader, träd och väggar; se Hur radiovågor färdas).

Med $N_t$ sändarantenner och $N_r$ mottagarantenner beskrivs kanalen av en matris $𝐇$ med $N_r\times N_t$ komplexa element. Mottagna signalen är

där $𝐱$ är de utsända signalerna och $𝐧$ bruset. Matrisens rang anger hur många oberoende strömmar kanalen klarar. Är sändarens kanalkännedom okänd och effekten fördelas lika är den genomsnittliga kapaciteten¹

där $\rho$ är signal–brusförhållandet (se Kanalkapacitet) och ${}^H$ betyder hermitiskt konjugat. Uttrycket kan skrivas som en summa över singulärvärdena ${\sigma }_i$ till $𝐇$: $C={\sum }_i{\log }_2(1+\rho {\sigma }_i^2/N_t)$, där varje term är en parallell "kanal". Antalet termer med betydande värde är det antal strömmar som går att skicka.

Figur 6 (höger) visar kapaciteten beräknad med 3 000 slumpade kanaler per punkt. Vid 20 dB SNR blir den genomsnittliga kapaciteten 5,9 bit/s/Hz för en antenn i varje ände, 11,3 för 2×2 och 22,1 för 4×4. Vid 30 dB är motsvarande värden 9,2, 17,8 och 34,9. Varje ökning med 10 dB ger ungefär 3,3 bit/s/Hz per ström: 1×1 går från 5,9 till 9,2, medan 4×4 går från 22,1 till 34,9, alltså fyra gånger så mycket. Vid högt SNR växer alltså kapaciteten med $min(N_t,N_r){\log }_2\rho$. Fyra antenner enbart i mottagaren (1×4) ger däremot bara effektvinst, som ett skift åt vänster i diagrammet, och ingen ökad lutning. Det är den viktiga skillnaden mellan diversitet (starkare signal) och rumslig multiplexering (fler strömmar).

Antennkorrelation och avstånd#

För att antennerna ska ge oberoende bidrag måste de se oberoende kanaler. Två antenners korrelation beror på avståndet och på hur signalen kommer in. Är inkommande vågor jämnt fördelade i ett plan (2D-spridning, som i Clarkes modell för en mobil omgiven av spridare i horisontalplanet) blir korrelationen mellan fältet i de två punkterna $\rho =J_0(2\pi d/\lambda )$, där $J_0$ är Besselfunktionen av första slaget och ordning noll. Vid jämn spridning i rymden (3D) blir den $\rho =\sin (2\pi d/\lambda )/(2\pi d/\lambda )$. Figur 6 (vänster) visar kurvorna. Första nollstället för $J_0$ ligger vid $2\pi d/\lambda =\mathrm{2,405}$, alltså $d=\mathrm{0,383}\lambda$. Vid $d=\mathrm{0,5}\lambda$ är korrelationen −0,30 (2D) respektive 0 (3D), och vid $d=\mathrm{0,25}\lambda$ är den 0,47 respektive 0,64. Vid en basstation, där signalerna kommer från ett smalt vinkelområde, är korrelationen högre och antennerna behöver stå flera våglängder isär för att bli okorrelerade.

Motsatsen mot lobformning är tydlig: lobformning vill ha korrelerade antenner med tätt avstånd (halv våglängd), så att lobens form blir bra. Rumslig multiplexering vill ha okorrelerade antenner, med större avstånd eller olika polarisation. Basstationspaneler löser det genom att använda två ortogonala polarisationer (till exempel ±45°, se Polarisation) på samma plats: polarisationsmångfald ger okorrelerade antennpar utan att kräva större plats. Verkliga antenner kan dessutom ha en inbördes koppling som påverkar korrelationen.

Enanvändar- och fleranvändar-MIMO#

Vid enanvändar-MIMO (SU-MIMO) skickar basstationen flera strömmar till en användare. Det kräver att användarens mottagare också har flera antenner. Vid fleranvändar-MIMO (MU-MIMO) skickar basstationen strömmar till flera användare samtidigt på samma frekvens, och kan hålla isär dem genom att lägga lobernas nollor på de andra användarna. Då behöver varje användare bara en antenn, men basstationen måste känna kanalen. Ett vanligt sätt att bilda sändvikterna är nollställande förkodning (eng. zero-forcing), där vikterna ges av pseudoinversen till kanalmatrisen $𝐇$:

Då blir $𝐇𝐖=𝐈$: varje användare tar emot enbart sin egen ström, utan störning från de andra. Om basstationen har $N_t$ antenner kan den på så sätt betjäna upp till $N_t$ användare.

Massiv MIMO i 5G#

Massiv MIMO (eng. massive MIMO) betyder att basstationen har många fler antenner än det finns användare som betjänas samtidigt, typiskt flera tiotal till några hundra element. Idén presenterades av Marzetta 2010² och blev en del av 5G NR. Tre egenskaper gör den användbar:

• Gruppvinst. Med $N$ element ökar signalen mot en användare med $10{\log }_{10}N$ dB jämfört med ett enda element. En grupp med 64 element ger 18 dB, alltså en faktor 64 i effekt.
• Smala lober. Med 64 element i en plan grupp om 8 × 8 på halv våglängds avstånd blir loben ca 13° bred i båda planen mot normalen. Användare som står på olika platser får olika lober och kan betjänas samtidigt på samma frekvens (rumslig delning, SDMA).
• Gynnsam kanal. När antalen är stora blir olika användares kanalvektorer nästan ortogonala, så enkla vikter räcker för att hålla isär dem.

Basstationen måste känna kanalen för att kunna välja vikter. I TDD-system, där upp- och nedlänk delar frekvens och turas om (se Multipel access och duplex), utnyttjas kanalens ömsesidighet: basstationen mäter uppströmmens pilotsignaler och använder dem som kanalen även för nedlänken. Därför passar massiv MIMO bäst med TDD-band som 3,5 GHz, som i Sverige är ett TDD-band (se Mobilbanden i Sverige). I 5G på millimetervåg (FR2, 24,25 GHz och uppåt) är antenngrupperna små eftersom våglängden är kort, men dämpningen är stor, och där används hybrid lobformning med få radiokedjor.³ Basstationen letar efter användare genom att svepa lober i olika riktningar med synkroniseringssignaler, och användaren rapporterar vilken som tas emot bäst.

Om hur mobilnäten byggs i lager och varför 3,5 GHz behöver mer antennvinst än låga band, se Så fungerar ett mobilnät.

Beräkna själv#

Gruppfaktorn är lätt att räkna med Python. Följande program ger diagrammet för åtta element styrda till 30° (se figur 2). Det testades när artikeln skrevs.

import numpy as np

def gruppfaktor(phi_deg, N=8, d=0.5, phi0_deg=0.0):
    """Gruppfaktorns belopp i dB (0 dB = max) för N isotropa element, d i våglängder."""
    u = np.sin(np.radians(phi_deg))
    u0 = np.sin(np.radians(phi0_deg))
    n = np.arange(N)
    af = np.exp(2j * np.pi * d * np.outer(u - u0, n)).sum(axis=1) / N
    return 20 * np.log10(np.maximum(np.abs(af), 1e-6))

phi = np.linspace(-90, 90, 18001)
db = gruppfaktor(phi, N=8, d=0.5, phi0_deg=30)
print(phi[np.argmax(db)])                      # 30.0 grader
inom = phi[db > -3]
print(round(inom.max() - inom.min(), 1))       # halvvärdesbredd, ca 14,8 grader

Kontrollfrågor#