OFDM och flerbärvågssystem
Hur OFDM delar en bred kanal i hundratals ortogonala underbärvågor med IFFT och FFT, varför cykliskt prefix gör flervägsutbredning till en fördel, och hur resursgitter, pilotsymboler, OFDMA och PAPR fungerar i Wi-Fi, LTE, 5G, DAB och DVB-T2.
Innehåll
- Från en bred kanal till många smala
- Ortogonala underbärvågor
- IFFT och FFT: modulation med en transform
- Flervägsutbredning och cykliskt prefix
- Pilotsymboler, kanalskattning och synkronisering
- Resursgitter och OFDMA
- Parametrar i verkliga system
- Enfrekvensnät
- Svagheter: PAPR och frekvenskänslighet
- Kontrollfrågor
OFDM (eng. orthogonal frequency division multiplexing) är det moduleringssystem som bär nästan all modern bredbandig radio: Wi-Fi, 4G och 5G, DAB och marksänd digital-tv. Idén är att dela en bred kanal i hundratals eller tusentals smala underbärvågor som sänds samtidigt och som är ordnade så att de inte stör varandra trots att deras spektrum överlappar. Resultatet är ett system som klarar flervägsutbredning, där en signal anländer via flera vägar och fördröjda ekon, bättre än något enbärvågssystem. Ett enkelt trick, det cykliska prefixet, gör ekona ofarliga.
Från en bred kanal till många smala#
En kanal med bandbredden och symbolhastigheten har symboltiden . Om kanalen har ekon som är lika långa som några symboltider överlappar symbolerna varandra hos mottagaren, så kallad intersymbolinterferens (ISI). Vid 20 MHz bandbredd är symbolen bara 50 ns lång, medan ekon från byggnader lätt blir flera hundra nanosekunder. Enbärvågssystem kräver då en tung utjämnare (adaptiv equalizer) som arbetar i tidsdomänen.
OFDM löser problemet genom att göra tvärtom: dela bandet i smala bitar, var och en bara bred. Varje bit bär en långsam symbolström med gånger längre symboltid. Är symbolen mycket längre än ekot blir ekot en mindre störning, och en liten skyddsmarginal gör att det försvinner helt. Tanken är gammal, men de första systemen med separata filter för varje underbärvåg krävde breda skyddsband mellan bärvågorna och blev opraktiska. Genombrottet kom när man insåg att man kunde låta bärvågorna överlappa i frekvens, om de valdes ortogonala, och skapa dem med en snabb Fouriertransform1.
Ortogonala underbärvågor#
Underbärvåg nummer har frekvensen . Under en symbol av längden sänds en komplex amplitud (en QAM- eller PSK-symbol, se digital modulation) på varje underbärvåg. Basbandssignalen under en symbol är
Villkoret för att underbärvågorna ska vara ortogonala är att avståndet är . Då innehåller varje underbärvåg ett helt antal perioder under symbolen (figur 1, höger), och integralen av produkten av två olika underbärvågor över symbolen blir noll:
Spektrumet för varje underbärvåg blir en sinc-funktion, eftersom den sänds under en rektangulär tidsperiod (figur 1, vänster). Sinc-funktionerna överlappar kraftigt, men varje underbärvågs spektrum har nollställen vid alla andra underbärvågors mittfrekvens. När mottagaren tar prov på just den frekvensen finns bara en enda underbärvåg kvar. Så får man en effektiv ”packning” av bandet utan skyddsband mellan underbärvågorna.
IFFT och FFT: modulation med en transform#
Att bygga separata oscillatorer och modulatorer skulle vara orimligt, men uttrycket för är i grunden en invers diskret Fouriertransform. Tar man prov på signalen med mellanrum, , blir
vilket är exakt en -punkts invers DFT av symbolerna . Sändaren behöver alltså bara ordna symbolerna, köra en IFFT och sända resultatet. Mottagaren gör tvärtom: den tar prov av en symbol och kör en FFT, och får tillbaka (förvrängda av kanalen) på varje underbärvåg. Fouriertransformen och dess samband med spektrum behandlas i Tidsdomän, frekvensdomän och Fourieranalys, och I/Q-proverna i I/Q-signaler och sampling.
Figur 2 visar kedjan. I sändaren grupperas bitarna och mappas till QAM-symboler, pilotsymboler läggs in, IFFT räknas fram, det cykliska prefixet fogas på, och den komplexa utsignalen blir I och Q till DA-omvandlare och blandare. I mottagaren tas prefixet bort, FFT körs, kanalen skattas med hjälp av piloterna och ”vänds” med en enkel division, och symbolerna demodulerar till bitar. För felrättning kombineras OFDM nästan alltid med kodning och interfoliering över underbärvågorna (se Felrättande kodning). Kombinationen kallas COFDM i DAB och DVB.
Flervägsutbredning och cykliskt prefix#
I verkligheten når radiovågen mottagaren via flera vägar: direkt, via reflektioner mot byggnader och terräng, via andra sändare i ett enfrekvensnät (se nedan). Utbredningsfördröjningen mellan första och sista vägen kallas fördröjningsspridning (eng. delay spread) . Utomhus kan den vara flera mikrosekunder, inomhus omkring 50–200 ns. Se Fresnelzon och fädning för bakgrunden till flervägsfädning.
OFDM:s motmedel är cykliskt prefix (CP, eng. cyclic prefix), även kallat skyddsintervall. Sändaren kopierar de sista sekunderna av symbolen och sätter dem före symbolen (figur 3, överst). Mottagaren kasserar prefixet och tar bara FFT på den följande delen av längden . Eftersom ekon kortare än bara läcker in i prefixet, där de gör ingen skada, förblir fönstret fritt från störning från föregående symbol.
Prefixet gör något mer än att skydda mot ISI. Eftersom det är en kopia av slutet blir faltningen mellan signalen och kanalen cirkulär över FFT-fönstret. Det betyder att varje underbärvåg påverkas endast av kanalens frekvenssvar vid just den frekvensen.
Prefixet kostar tid. Verkningsgraden är . Därför väljer man minst 4–10 gånger större än det förväntade ekot. Ju längre symbol, desto smalare underbärvågsavstånd , men desto känsligare är systemet för Dopplerförskjutning och fasbrus, eftersom underbärvågorna då ligger tätare. Konstruktören balanserar alltså tre krav:
- (annars ISI).
- (annars slösar prefixet kapacitet).
- , där är maximal Dopplerförskjutning (annars förlorar man ortogonaliteten och får intercarrier-interferens, ICI).
Pilotsymboler, kanalskattning och synkronisering#
För att kunna dividera med måste mottagaren känna kanalen. Därför sänds pilotsymboler (referenssymboler), vars värde mottagaren känner, på kända platser i resursgittret. Mottagaren jämför det mottagna värdet med det kända, får för dessa positioner och interpolerar över frekvens och tid till alla övriga. Piloterna ska ligga tätt nog för att följa kanalen. I frekvensled gäller att de ska ligga tätare än kanalens koherensbandbredd (ungefär ), och i tidsled tätare än kanalens koherenstid (ungefär ). Wi-Fi (20 MHz) har 4 piloter bland 52 använda underbärvågor, medan LTE och 5G sprider referenssignaler över hela gittret. DAB och DVB använder differentiell modulation respektive utspridda piloter.
Mottagaren måste också hitta var symbolen börjar (symbolsynkronisering) och rätta till frekvensfel mellan oscillatorerna (frekvenssynkronisering). Ett frekvensfel gör att underbärvågorna förskjuts relativt FFT-rastret och ortogonaliteten går förlorad, så att varje underbärvåg läcker in i grannarna. Synkroniseringen sker normalt med speciella träningssymboler (preambel) och genom korrelation mot det cykliska prefixet. Därför är kraven på oscillatorernas stabilitet och fasbrus höga i OFDM-system.
Resursgitter och OFDMA#
Under en symbol sänder OFDM komplexa värden. Över tiden blir det ett tvådimensionellt resursgitter: underbärvågor på ena axeln, symboler på den andra. Varje ruta, ett resurselement, bär en QAM-symbol (figur 4). Gittret är hyllan som en basstation delar ut från, och det är därför OFDM går så bra ihop med flerfaldig åtkomst. Metoden kallas OFDMA och beskrivs ur åtkomstsynpunkt i Multipel access och duplex.
I LTE är ett resursblock 12 underbärvågor (180 kHz) under en slot om 7 symboler (0,5 ms). Basstationen väljer för varje millisekund vilka resursblock varje användare får, helst där användarens kanal är bäst. Det kallas frekvensselektiv schemaläggning och är en av de största fördelarna med OFDMA. Samma tanke finns i 5G, där basstationen dessutom kan välja underbärvågsavstånd (numerologi) och slotlängd efter tjänsten. I Wi-Fi 6 (IEEE 802.11ax) infördes OFDMA för att flera enheter ska kunna dela en 20 MHz-kanal.
Parametrar i verkliga system#
Tabell 1 jämför några system. Observera att i alla.
Tabell 1. OFDM-parametrar i några system (vanliga lägen; flera varianter finns).
| System | Underbärvågsavstånd | FFT-storlek / bärvågor | Nyttig symbol | Skyddsintervall | Kanalbredd |
|---|---|---|---|---|---|
| Wi-Fi (802.11a/g/n/ac) | 312,5 kHz | 64 / 52 använda (48 data + 4 piloter) | 3,2 µs | 0,8 µs (kort 0,4 µs) | 20 MHz |
| Wi-Fi 6 (802.11ax) | 78,125 kHz | 256 / 20 MHz | 12,8 µs | 0,8, 1,6 eller 3,2 µs | 20–160 MHz |
| LTE | 15 kHz | 2 048 / 1 200 använda vid 20 MHz | 66,7 µs | 4,7 µs (normalt), 16,7 µs (utökat) | 1,4–20 MHz |
| 5G NR | 15–960 kHz | upp till 4 096 | ca 7 % (normalt), utökat bara vid 60 kHz | FR1 upp till 100 MHz | |
| DAB (mode I) | 1 kHz | 1 536 bärvågor | 1 ms | 246 µs | ca 1,5 MHz |
| DVB-T (8k, 8 MHz) | 1,116 kHz | 6 817 bärvågor | 896 µs | 1/4–1/32 av (224–28 µs) | 8 MHz |
För DAB anger ETSI EN 300 401 att endast mode I återstår, med 1 536 bärvågor på 1 kHz avstånd, nyttig symboltid 1 ms, skyddsintervall 246 µs (symbolen blir 1,246 ms) och D-QPSK på varje bärvåg2. Verkningsgraden är %.
5G NR har ett flexibelt system som kallas numerologi (parametrisering). Underbärvågsavståndet är kHz med enligt 3GPP TS 38.211, och slotlängden är ms. Den utökade prefixlängden finns bara för (60 kHz)3. Valet är en kompromiss mellan de tre kraven ovan. Låga underbärvågsavstånd (långa symboler) ger robusthet mot långa ekon och används i täckningsband, medan stora avstånd (korta symboler) passar höga frekvenser där Doppler och fasbrus är större och latensen ska vara kort.
Tabell 2. Numerologi i 5G NR (3GPP TS 38.211, tabell 4.2-1). Slot = 14 symboler med normalt prefix.
| Underbärvågsavstånd | Nyttig symbol | Slotlängd | |
|---|---|---|---|
| 0 | 15 kHz | 66,7 µs | 1 ms |
| 1 | 30 kHz | 33,3 µs | 0,5 ms |
| 2 | 60 kHz | 16,7 µs | 0,25 ms |
| 3 | 120 kHz | 8,33 µs | 125 µs |
| 4 | 240 kHz | 4,17 µs | 62,5 µs |
| 5 | 480 kHz | 2,08 µs | 31,25 µs |
| 6 | 960 kHz | 1,04 µs | 15,6 µs |
Enfrekvensnät#
Eftersom ekon inom skyddsintervallet är ofarliga kan flera sändare sända samma signal på samma frekvens och samtidigt. För mottagaren är signalen från en andra sändare bara ytterligare ett eko, som dessutom förstärker den nyttiga signalen. Det kallas enfrekvensnät (SFN, eng. single frequency network) och är en viktig anledning till att DAB och DVB-T2 använder OFDM, eftersom det sparar mycket spektrum. Skyddsintervallet avgör hur långt sändarna kan ligga från varandra. DAB:s 246 µs motsvarar vägskillnaden km. Längre skyddsintervall tillåter större enfrekvensnät men kostar kapacitet. Läs mer om rundradiosystemen i DAB och digital-tv.
Svagheter: PAPR och frekvenskänslighet#
Toppeffektfaktorn#
Summan av underbärvågor med slumpmässiga faser blir i stort sett en brusliknande signal (figur 1, höger). När många underbärvågor av en tillfällighet toppar samtidigt blir amplituden mycket stor. Måttet är toppeffektfaktorn (PAPR, eng. peak-to-average power ratio):
Det största möjliga värdet är , alltså dB (18 dB för , 30 dB för ), men det är mycket osannolikt. Med oberoende underbärvågor är sannolikheten att PAPR överstiger ungefär . Teorin ger att PAPR överskrider 10,4 dB i en av tusen symboler för och 11,4 dB för . Simuleringen i figur 5 (med fyra gånger översampling) ger 10,7 respektive 11,8 dB. En enbärvågs QPSK-signal med rotupphöjd cosinus ger i samma simulering ca 4 dB.
En hög PAPR kräver ett linjärt slutsteg som klarar topparna, och förstärkaren arbetar därför med stor back-off (långt under sin maxeffekt) och låg verkningsgrad. Annars klipps topparna och intermodulationsprodukter läcker ut i grannkanalen (se Linjäritet och intermodulation och figur 4 i Sändningsklasser). Åtgärder är amplitudbegränsning med filtrering, reservering av underbärvågor för att motverka toppar (tone reservation) och digital förvrängning i förväg (DPD). I LTE-upplänken, där mobilens batteri och slutsteg är kritiska, används en variant som kallas SC-FDMA (DFT-spread OFDM). Symbolerna transformeras med en DFT före IFFT, vilket ger en signal med ungefär 2–3 dB lägre PAPR än vanlig OFDM. 5G NR kan använda båda varianterna i upplänken.
Frekvensfel, fasbrus och spektrum#
Ortogonaliteten kräver att mottagarens frekvensraster stämmer med sändarens. Ett frekvensfel och Dopplerspridning flyttar underbärvågorna så att de läcker in i varandra. Fasbrus i oscillatorerna ger samma effekt, och det är en viktig gräns för hur täta QAM-konstellationer och hur små underbärvågsavstånd som fungerar (se Digital modulation för EVM). Spektrumet utanför bandet avtar långsamt eftersom varje underbärvåg är en sinc. I praktiken lämnar man därför ytterkanterna oanvända (skyddsband, se räkneexemplet för LTE), och sändaren filtrerar eller fönstrar symbolkanterna.
Kontrollfrågor#
Vad menas med att OFDM-underbärvågor är ortogonala, och vilket krav ställs på avståndet?
Att produkten av två olika underbärvågor integrerad över symboltiden är noll, så att de inte stör varandra i mottagaren trots att spektrumen överlappar. Det kräver att avståndet är en multipel av , normalt precis .
Varför används IFFT i sändaren och FFT i mottagaren?
OFDM-signalen är summan av komplexa exponentialer med amplituderna , vilket är definitionen på en invers DFT. FFT/IFFT är snabba algoritmer för detta, med arbetsinsats av storleksordningen i stället för . Mottagarens FFT återvinner ur de mottagna proven.
Ett OFDM-system har skyddsintervallet 4,7 µs. Hur lång vägskillnad mellan direkt signal och eko kan det hantera?
km.
Varför blir kanalutjämningen så enkel i OFDM?
Det cykliska prefixet gör kanalens påverkan till en cirkulär faltning. Efter FFT blir det en multiplikation per underbärvåg, så utjämningen är bara en komplex division per underbärvåg.
Vilka tre krav balanserar valet av symboltid i ett OFDM-system?
Skyddsintervallet måste vara längre än fördröjningsspridningen (annars ISI), symbolen måste vara betydligt längre än skyddsintervallet (annars slösas kapacitet), och underbärvågsavståndet måste vara mycket större än Dopplerförskjutningen (annars förloras ortogonaliteten).
Beräkna Dopplerförskjutningen för ett tåg i 200 km/h vid 700 MHz och jämför med 15 kHz.
m/s. Hz, ca 0,9 % av 15 kHz. Interferensen mellan underbärvågor är liten.
Varför är OFDM:s hög PAPR ett problem, och hur kringgår LTE problemet i upplänken?
Hög PAPR kräver ett linjärt slutsteg med stor back-off och därmed låg verkningsgrad, annars klipps topparna och grannkanalerna störs. LTE-upplänken använder SC-FDMA (DFT-spread OFDM) som ger lägre PAPR och sparar mobilens batteri.
Varför kan DAB och DVB-T2 använda enfrekvensnät?
Ekon och signaler från andra sändare som anländer inom skyddsintervallet orsakar ingen ISI utan adderas konstruktivt. Därför kan flera sändare sända samma signal på samma frekvens, och skyddsintervallet (246 µs i DAB, motsvarande ca 74 km) avgör hur långt de får ligga från varandra.
-
Historiken (Chang 1966, Weinstein och Ebert 1971) är lärobokskunskap, sammanfattad i van Nee & Prasad, OFDM for Wireless Multimedia Communications. ↩
-
ETSI EN 300 401 V2.1.1 (2017): endast mode I återstår (lägena II–IV har tagits bort), med 1 536 bärvågor, 1 kHz bärvågsavstånd, ms, skyddsintervall 246 µs, symboltid 1,246 ms, ramlängd 96 ms och D-QPSK; bandbredden är ca 1,5 MHz. ↩
-
3GPP TS 38.211 tabell 4.2-1 (Rel-19): ger 15, 30, 60, 120, 240, 480 respektive 960 kHz. Utökat cykliskt prefix stöds bara för . ↩