Linjäritet, intermodulation och dynamik

Varför förstärkare och blandare aldrig är perfekt linjära, hur det ger övertoner, intermodulation, kompression och blockering, hur IP3 och 1 dB-punkten används för att räkna på det, och hur samma ickelinjäritet ger passiv intermodulation i mobilnät och spektral återväxt i sändare.

Avancerad26 min läsningGranskad 25 oktober 2026

Innehåll

Ickelinjäritet
Övertoner
Två toner: intermodulation
Kompression och 1 dB-punkten
IP3 och den grafiska konstruktionen
Flera steg i kedja
Blockering, desensibilisering och korsmodulation
Dynamiskt omfång
Passiv intermodulation (PIM)
Spektral återväxt, ACLR och DPD
Att mäta linjäritet
Beräkna själv
Kontrollfrågor

En förstärkare ska ge en större kopia av insignalen, och en blandare ska flytta den till en annan frekvens. Ingen verklig komponent gör det perfekt: vid tillräckligt hög nivå förvrängs signalen. Det kallas ickelinjäritet och är orsaken till övertoner, till att två starka signaler kan skapa en tredje som ingen sänder, till att en stark signal tystar en svag, och till att en sändare läcker ut i grannkanalen. Artikeln visar vad som händer, hur man räknar på det med 1 dB-punkten och IP3, och hur det bestämmer ett systems dynamiska omfång. Kurvorna och siffrorna i figurerna är beräknade i Python, de flesta med en och samma modell av en förstärkare, och räkneexemplen är kontrollerade mot beräkningen.

I korthet

En ickelinjär förstärkare ger övertoner (långt från den önskade frekvensen, och därför filtrerbara) och intermodulation (vid frekvenser som ligger nära signalerna, och därför inte filtrerbara). Två toner $f_{1}$ och $f_{2}$ ger bland annat $2 f_{1} - f_{2}$ och $2 f_{2} - f_{1}$ .
I dB stiger grundtonen med lutning 1, produkterna av tredje ordningen med lutning 3. Därför ökar avståndet mellan dem med 2 dB för varje dB som signalen sänks.
IP3 är den nivå där de två förlängda linjerna skulle mötas. Den ligger ovanför det område där förstärkaren fungerar och kan inte mätas direkt, men den bestämmer produktens nivå: $I M 3 = 3 P_{u t} - 2 O I P 3$ i dBm.
Med flera steg i kedjan dominerar de sista, eftersom förstärkningen före dem multipliceras in: $1 / {I I P 3}_{t o t} = 1 / {I I P 3}_{1} + G_{1} / {I I P 3}_{2} + \dots$ (i mW).
En stark signal desensibiliserar en svag redan 3 dB under 1 dB-punkten, eftersom den komprimerar den svaga dubbelt så effektivt som den komprimerar sig själv.
Dynamiskt omfång är avståndet från brusgolvet till den nivå där något annat tar över: intermodulation, blockering eller oscillatorns fasbrus.
Samma fysik ger passiv intermodulation (PIM) i rostiga kontakter och spektral återväxt i effektförstärkare. Det senare kan delvis rättas till med förvrängning i förväg (DPD).

Ickelinjäritet#

Anta att utsignalen $y$ beror på insignalen $x$ som en polynomsumma:

y = a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots

Den första termen är den önskade, linjära förstärkningen $a_{1}$ . De övriga termerna är avvikelserna. Det är ingen exakt beskrivning av någon verklig förstärkare, men för svaga till måttliga signaler är det en bra approximation, och den förklarar nästan allt som är viktigt. Med en ren ton $x = A \cos ω t$ blir utsignalen

y = \frac{a_{2} A^{2}}{2} + (a_{1} A + \frac{3 a_{3} A^{3}}{4}) \cos ω t + \frac{a_{2} A^{2}}{2} \cos 2 ω t + \frac{a_{3} A^{3}}{4} \cos 3 ω t + \dots

Den första termen är en likspänning, den andra är grundtonen, och sedan kommer andra och tredje övertonen. Tre saker är värda att se:

Övertonerna växer snabbare än grundtonen. Andra övertonens amplitud är proportionell mot $A^{2}$ och tredje övertonens mot $A^{3}$ . Höjs signalen 1 dB, höjs den andra övertonen 2 dB och den tredje 3 dB.
Grundtonens förstärkning ändras med nivån. Den är $a_{1} + \frac{3}{4} a_{3} A^{2}$ . I en verklig förstärkare är $a_{3}$ negativ, så förstärkningen minskar när signalen blir starkare. Det kallas kompression.
Allt detta gäller även en blandare och varje annan komponent som inte är ett perfekt rakt samband. En diod, en transistor nära mättnad och en rostig kontakt är alla ickelinjära.

Figurerna i artikeln bygger på en förstärkare som är gjord för att likna en verklig: förstärkningen är 20 dB, utsignalen mättas mjukt vid 5 V topp ( $y = V_{s} \tanh (g x / V_{s})$ med $g = 10$ och $V_{s} = 5$ V), och en liten andra ordningens term $a_{2} x^{2}$ med $a_{2} = 0,5 V^{- 1}$ lagts till. Nivåerna i dBm räknas över 50 Ω. Serieutvecklingen av $\tanh$ ger $a_{3} = - g^{3} / (3 V_{s}^{2}) = - 13,3 V^{- 2}$ .

Övertoner#

En sändare med en ickelinjär slutförstärkare sänder ut den önskade frekvensen $f$ och dessutom $2 f$ , $3 f$ och så vidare. Det är skälet till att varje sändare behöver ett lågpassfilter efter slutsteget, se Sändare. Övertonerna ligger långt från den önskade frekvensen och går därför att filtrera bort. Hur olika förstärkarklasser skiljer sig åt beskrivs i Förstärkarklasser.

Intermodulation är besvärligare, eftersom produkterna hamnar vid signalerna.

Två toner: intermodulation#

Matas förstärkaren med två toner, $f_{1}$ och $f_{2}$ , blandar de sig i de ickelinjära termerna. Kvadratiska termen ger summan och skillnaden, $f_{2} - f_{1}$ och $f_{1} + f_{2}$ , och dessutom $2 f_{1}$ och $2 f_{2}$ . Kubiska termen ger bland annat

2 f_{1} - f_{2}, 2 f_{2} - f_{1}, 2 f_{1} + f_{2}, f_{1} + 2 f_{2}, 3 f_{1}, 3 f_{2} .

Figur 1 visar resultatet av en beräkning med $f_{1} = 100$ MHz och $f_{2} = 110$ MHz, 10 dBm per ton in. Överst ligger andra och tredje ordningens produkter i grupper runt 0, $2 f$ och $3 f$ , långt från tonerna. Under förstoras området runt tonerna. Där ligger de två produkterna av tredje ordningen, $2 f_{1} - f_{2} = 90$ MHz och $2 f_{2} - f_{1} = 120$ MHz, lika långt utanför tonerna som tonerna är från varandra, och 40 dB under dem.

Figur 1. Tvåtonstest beräknat med FFT på en olinjär förstärkare (förstärkning 20 dB, tanh-karakteristik plus en andra ordningens term) som matas med 100 och 110 MHz, båda −10 dBm. A: hela spektrumet. B: förstoring runt tonerna. Nivåerna är i dBc, alltså relativt en av tonerna.

Tabell 1 samlar de viktigaste produkterna. Nivåerna kommer ur samma beräkning och gäller vid −10 dBm per ton in (utnivå +9,8 dBm per ton).

Ordning	Frekvens	Exempel (MHz)	Nivå (dBc)
2	$f_{2} - f_{1}$	10	−45,8
2	$f_{1} + f_{2}$	210	−45,8
2	$2 f_{1}$ , $2 f_{2}$	200, 220	−51,8
3	$2 f_{1} - f_{2}$ , $2 f_{2} - f_{1}$	90, 120	−40,3
3	$2 f_{1} + f_{2}$ , $f_{1} + 2 f_{2}$	310, 320	−40,3
3	$3 f_{1}$ , $3 f_{2}$	300, 330	−50,1
5	$3 f_{1} - 2 f_{2}$ , $3 f_{2} - 2 f_{1}$	80, 130	−78,1

Tabell 1. Produkter i två-tonstestet i figur 1.

Några mönster som syns i tabellen och som gäller allmänt:

Intermodulationsprodukterna ligger i ett rutnät med avståndet $Δ = f_{2} - f_{1}$ utanför tonerna. Tredje ordningen ligger vid $f_{1} - Δ$ och $f_{2} + Δ$ , femte ordningen vid $f_{1} - 2 Δ$ och $f_{2} + 2 Δ$ , och så vidare. Allmänt är $(k + 1) f_{1} - k f_{2}$ en produkt av ordning $2 k + 1$ .
Bara udda ordningar hamnar nära tonerna. Jämna ordningar ger produkter vid summan, skillnaden och dubbla frekvensen, och de kan filtreras bort i ett smalbandigt system. Det är därför tredje ordningen, IM3, är den som räknas.
Produkten av tredje ordningen är 9,5 dB starkare än tredje övertonen (faktor 3 i amplitud), och intermodulationen av andra ordningen är 6 dB starkare än andra övertonen (faktor 2). Det syns i tabellen: $- 40,3$ mot $- 50,1$ dBc och $- 45,8$ mot $- 51,8$ dBc.

De ligger 10 kHz utanför paret, alltså mitt bland andra stationer. Femte ordningens produkter ligger vid $3 f_{1} - 2 f_{2} = 14,180$ och $3 f_{2} - 2 f_{1} = 14,230$ MHz. Samma räkning för två sändare på 145,000 och 145,600 MHz ger 144,400 och 146,200 MHz, se exemplet i Radiostörningar.

Mottagaren hör inte skillnad på en riktig signal och en intermodulationsprodukt. Två starka signaler som inte dämpas tillräckligt av filtren före den första förstärkaren eller blandaren kan därför ge störning på en kanal där ingen sänder.

Kompression och 1 dB-punkten#

När insignalen ökar planar utsignalen ut, tills förstärkaren mättas. 1 dB-kompressionspunkten, $P_{1 d B}$ , är den nivå där den verkliga förstärkningen har sjunkit 1 dB under den linjära. Den anges antingen vid ingången (insignalsnivå) eller vid utgången (utsignalsnivå), och de två skiljer sig åt med förstärkningen minus 1 dB. I modellen är $P_{1 d B}$ vid ingången $+ 1,0$ dBm och vid utgången $+ 20,0$ dBm.

Av serieutvecklingen följer att kompressionen på 1 dB inträffar när $\frac{3}{4} a_{3} A^{2} / a_{1} = 10^{- 1 / 20} - 1 = - 0,109$ , alltså vid amplituden $A_{1 d B}^{2} = 0,145 a_{1} / | a_{3} |$ . Kompressionspunkten används för att jämföra förstärkare: i en sändare säger den hur mycket effekt förstärkaren kan lämna utan märkbar förvrängning, och i en mottagare vilken nivå en signal kan ha innan förstärkaren börjar tappa förstärkning.

IP3 och den grafiska konstruktionen#

Eftersom intermodulationen av tredje ordningen växer med lutning 3 medan grundtonen växer med lutning 1, kommer de två att närma sig varandra när signalen höjs. Förlänger man de raka delarna av kurvorna så möts de i en punkt: tredje ordningens skärningspunkt, IP3 (på engelska third-order intercept point). Den nivån på ingången kallas IIP3 och på utgången OIP3, och $O I P 3 = I I P 3 + G$ .

Så gör du konstruktionen i figur 2:

Rita utnivån för grundtonen mot innivån, båda i dBm. I det linjära området är det en rät linje med lutning 1, 20 dB över insignalen om förstärkningen är 20 dB.
Rita nivån för en intermodulationsprodukt av tredje ordningen. Det är en rät linje med lutning 3.
Förläng båda linjerna med streckade linjer, förbi den punkt där förstärkaren i verkligheten komprimerar.
Skärningspunkten är IP3. Läs av IIP3 på den vågräta axeln och OIP3 på den lodräta.

Figur 2. IP3-grafen beräknad för modellförstärkaren i två-tonstest: grundton (en ton, blå) och intermodulationsprodukten 2f₁−f₂ (två toner, röd) per ton. De streckade linjerna är ideala lutningar 1 och 3, och de möts i IP3 vid +10 dBm in och +30 dBm ut. Punkten är extrapolerad: förstärkaren har komprimerat långt innan. Det dynamiska omfånget på 80 dB är avståndet mellan brusgolvet (−90 dBm vid utgången) och den utnivå där produkten når brusgolvet (−10 dBm).

Grafen ger två praktiska formler. Grundtonen ligger $d = O I P 3 - P_{u t}$ dB under OIP3, och produkten ligger $3 d$ dB under, eftersom den har lutning 3. För en ton på utnivå $P_{u t}$ (dBm) gäller därför:

I M 3 = 3 P_{u t} - 2 O I P 3 [d B m], Δ_{I M} = P_{u t} - I M 3 = 2 (O I P 3 - P_{u t}) [d B] .

Skriver man om det är $O I P 3 = P_{u t} + Δ_{I M} / 2$ , och så mäter man IP3 i praktiken: en enda mätpunkt på låg nivå räcker. I modellen blir $I M 3 = 3 \cdot 9,75 - 2 \cdot 30 = - 30,8$ dBm vid −10 dBm in, och beräkningen ger $- 30,6$ dBm. Skillnaden på $0,2$ dB beror på att förstärkaren då har börjat komprimera.

$P_{i n}$ per ton (dBm)	$P_{u t}$ (dBm)	IM3 (dBm)	$Δ_{I M}$ (dB)	$P_{u t} + Δ_{I M} / 2$ (dBm)
−60	−40,0	−180,0	140,0	30,0
−40	−20,0	−120,0	100,0	30,0
−30	−10,0	−90,0	80,0	30,0
−20	0,0	−60,1	60,0	30,0
−10	9,8	−30,6	40,3	29,9
−5	14,2	−16,7	30,9	29,7
0	18,0	−4,7	22,6	29,3

Tabell 2. Beräknade nivåer för modellen vid olika innivåer. Mellan −60 och −20 dBm ger varje rad samma OIP3, +30 dBm. Högre upp har förstärkaren börjat komprimera och den uppskattade OIP3 sjunker.

Tabellen visar också varför IP3 ska mätas på låg nivå: för varje 10 dB som nivån per ton höjs minskar avståndet 20 dB, och ju närmare kompressionen man mäter desto mer avviker uppskattningen. Ett OIP3 som sjunker när nivån höjs är ett tecken på att man mäter för högt upp.

Hur långt över 1 dB-punkten ligger IP3? Räknar man med enbart tredje ordningens term blir förhållandet $A_{I P 3}^{2} / A_{1 d B}^{2} = 1 / 0,109 = 9,2$ , alltså $9,6$ dB. I läroböcker används ofta tumregeln att IIP3 ligger ungefär 10 dB över $P_{1 d B}$ , och i modellen blir skillnaden $9,0$ dB. Tumregeln är bara en uppskattning, eftersom högre ordningars termer påverkar hur kurvan planar ut.

Med $a_{1} = 10$ och $a_{3} = - 13,33 V^{- 2}$ blir $A_{I P 3}^{2} = 1$ V $^{2}$ , alltså $A_{I P 3} = 1$ V. Över 50 Ω är det $10 + 20 \log_{10} 1 = + 10$ dBm. Det är IIP3. Utnivån är 20 dB högre: OIP3 är +30 dBm.

Flera steg i kedja#

I en mottagare kommer signalen genom en förstärkare, ett filter, en blandare och en MF-förstärkare. Varje steg har sin egen IP3. Det är inte så att kedjans IIP3 är det sämsta stegets. Det senare ser starkare signal än det första, eftersom förstärkningen före det har höjt nivån. Vid svag olinjäritet gäller att

\frac{1}{{I I P 3}_{t o t}} = \frac{1}{{I I P 3}_{1}} + \frac{G_{1}}{{I I P 3}_{2}} + \frac{G_{1} G_{2}}{{I I P 3}_{3}} + \dots

Alla tal sätts in i linjära enheter, alltså milliwatt för IIP3 och förstärkning som förhållande (inte dB).¹ Formeln är en approximation för svag olinjäritet. Den antar att bidragen från de olika stegen adderas i fas, vilket är ett värsta fall.

Räkneexempel: lågbrusförstärkare, blandare och MF-förstärkare

En mottagare har tre steg:

Steg	Förstärkning	IIP3	Förstärkning före steget	Andel av $1 / {I I P 3}_{t o t}$
Förförstärkare	+15 dB	−5 dBm	0 dB	25 %
Blandare	−7 dB	+10 dBm	15 dB	25 %
MF-förstärkare	+20 dB	0 dBm	8 dB	50 %

I mW: $1 / {I I P 3}_{t o t} = 1 / 0,316 + 31,6 / 10 + 6,31 / 1 = 3,16 + 3,16 + 6,31 = 12,6 m W^{- 1}$ , så ${I I P 3}_{t o t} = 0,0792$ mW $= - 11,0$ dBm. Trots att MF-förstärkaren har en bättre IIP3 än förförstärkaren är den den största bidragsgivaren, eftersom 8 dB förstärkning ligger före den. Utan förförstärkaren blir kedjans IIP3 i stället $+ 5,2$ dBm. Förstärkningen på 15 dB framför blandaren kostar alltså 16 dB i IP3, och det är priset för en bättre känslighet, se Friis formel.

Två regler följer: förstärkning tidigt i kedjan ger bättre brustal men sämre IP3, och förlust tidigt i kedjan ger det omvända. En dämpsats vid ingången höjer IIP3 lika många dB som den dämpar, men höjer också brustalet lika mycket. Därför placeras selektiva filter så tidigt som möjligt: signaler utanför passbandet når då aldrig de steg där IP3 är låg.

Blockering, desensibilisering och korsmodulation#

Den kubiska termen ändrar förstärkningen för grundtonen. Om det finns två signaler, en stark och en svag, påverkar den starka förstärkningen för båda. För den svaga blir förstärkningen $a_{1} + \frac{3}{2} a_{3} A_{i}^{2}$ , där $A_{i}$ är den starka signalens amplitud. Jämför med $a_{1} + \frac{3}{4} a_{3} A^{2}$ för en ensam signal: den starka signalen komprimerar den svaga dubbelt så effektivt som den komprimerar sig själv. Därför är 1 dB desensibilisering av den svaga signalen redan nådd när den starka ligger ungefär 3 dB under sin egen 1 dB-punkt.

I modellen beräknas det i figur 3: en svag signal på −70 dBm förlorar 1 dB förstärkning när en stark signal på en annan frekvens når $- 2,1$ dBm, medan den starka signalens egen 1 dB-punkt ligger vid $+ 1,0$ dBm. Skillnaden är 3,2 dB, och teorin för enbart tredje ordningen ger 3,0 dB.

Figur 3. Desensibilisering beräknad för modellförstärkaren. Blå kurva: en ensam stark signal komprimerar sig själv. Röd streckad kurva: samma starka signal ger en svag signal på en annan frekvens lägre förstärkning, redan 3 dB tidigare. Ändringen är relativt förstärkningen vid låg nivå.

Effekten kallas desensibilisering (mottagarens känslighet sjunker) eller blockering (den svaga signalen blockeras av den starka). Den svaga signalens förstärkning sjunker, men brus som tillförs av senare steg gör det inte, så signal-brusförhållandet försämras och svaga signaler försvinner i bruset.

Korsmodulation uppstår när den starka signalen inte har konstant amplitud. Om dess amplitud varierar, $A_{i} (t)$ , varierar den svaga signalens förstärkning på samma sätt: $a_{1} + \frac{3}{2} a_{3} A_{i}^{2} (t)$ . Modulationen från den starka signalen hamnar då som amplitudmodulation på den önskade, även om de ligger på olika frekvenser. Det kräver att den starka signalen har varierande envelopp, som AM, SSB, pulsade eller OFDM-signaler. En ren FM-signal med konstant envelopp ger ingen korsmodulation, men ger fortfarande blockering.

Det fjärde fenomenet i listan i Mottagare, reciprok blandning, har en annan orsak: det är oscillatorns fasbrus som blandas ner av den starka signalen, inte förstärkarens ickelinjäritet. Det beskrivs i Blandare, oscillatorer och frekvenssyntes.

Dynamiskt omfång#

Ett system hanterar signaler mellan två gränser. Den nedre sätts av brusgolvet, för en mottagare den minsta detekterbara signalen, MDS (se Mottagare). Den övre sätts av den första av flera gränser man når: blockering, intermodulation eller oscillatorns fasbrus. Avståndet kallas dynamiskt omfång och anges i dB. Siffran beror på vilken övre gräns man väljer och måste därför alltid följas av en definition.

Intermodulationsfritt omfång (DR3) är avståndet mellan brusgolvet och den nivå där två lika starka toner ger en intermodulationsprodukt som precis når brusgolvet. Produkten är $3 P - 2 I I P 3$ (refererad till ingången), och den ska vara lika med MDS:

3 P - 2 I I P 3 = M D S \Rightarrow P = \frac{2 I I P 3 + M D S}{3}, {D R}_{3} = P - M D S = \frac{2}{3} (I I P 3 - M D S) .

Utnivån i figur 2 följer samma räkning: brusgolvet −90 dBm och OIP3 på +30 dBm ger $\frac{2}{3} \cdot 120 = 80$ dB.

Blockeringsomfång (BDR) är avståndet mellan MDS och den nivå där en stark signal desensibiliserar 1 dB. SFDR (spurious-free dynamic range) är avståndet till den starkaste oönskade produkten, och för intermodulation av tredje ordningen är det samma sak som DR3.

Två toner på $M D S + {D R}_{3} = - 50,7$ dBm ger en produkt på −130,2 dBm, precis vid brusgolvet. Med tumregeln $P_{1 d B} \approx I I P 3 - 10$ dB $= - 21$ dBm och desensibilisering 3 dB tidigare ( $- 24$ dBm) blir blockeringsomfånget $- 24 + 130,2 \approx 106$ dB. Två toner stör alltså mycket tidigare än en enda stark signal. Exemplet i Blandare, oscillatorer och frekvenssyntes gav 86 dB för en oscillator med fasbruset −120 dBc/Hz på 20 kHz avstånd. Olika gränser ger alltså olika siffror, och den lägsta av dem avgör vad som begränsar mottagaren i en given situation.

En A/D-omvandlare har ingen mjuk kompression och klipper hårt vid överstyrning. Därför anger man dess linjäritet som SFDR (avståndet till den starkaste oönskade produkten) och inte som IP3, se ADC: upplösning, brus och dynamik.² Se även Dynamik och begränsningar i artikeln om SDR.

Passiv intermodulation (PIM)#

Ickelinjäriteten behöver inte sitta i en förstärkare. I en basstation går sändarsignaler med tiotals watt genom kablar, kontakter och filter fram till antennen, och en enda dålig kontakt kan bete sig som en liten diod. Då blandas de starka signalerna där, och produkten kan hamna i mottagarens band. Det kallas passiv intermodulation, PIM, eftersom komponenterna är passiva: kablar, kontakter, filter och antenner.

Figur 4 visar ett räkneexempel med band 3 (1710–1785 MHz upplänk, 1805–1880 MHz nedlänk, se Mobilbanden i Sverige). Två nedlänkssignaler vid $f_{1} = 1810$ MHz och $f_{2} = 1870$ MHz ger en tredje ordningens produkt vid

2 f_{1} - f_{2} = 3620 - 1870 = 1750 M H z .

Det ligger mitt i upplänksbandet, där basstationens mottagare lyssnar. Den andra produkten, $2 f_{2} - f_{1} = 1930$ MHz, ligger utanför båda banden, och femte ordningens $3 f_{1} - 2 f_{2} = 1690$ MHz ligger strax under upplänken. Alltså beror det på vilka kanaler som används om PIM träffar mottagaren eller inte.

Figur 4. Passiv intermodulation i band 3 (1800 MHz). Produkten 2f₁−f₂ för sändarsignalerna på 1810 och 1870 MHz hamnar i upplänken, där mottagaren inte kan skilja den från en önskad signal.

Hur starkt blir det? Provning enligt IEC-standarden för passiv intermodulation (IEC 62037) använder två toner à 20 W, alltså 43 dBm per ton, och mäter produkten av tredje ordningen.³ Typiska specifikationer som anges i en artikel av Hartman och Bell från 2013 är omkring −150 dBc vid fabrikstest och −140 dBc vid fältprov. Med 43 dBm per ton motsvarar −150 dBc en produkt på $43 - 150 = - 107$ dBm. I samma artikel nämns ett mottagarbrusgolv på cirka −130 dBm, så även en produkt 150 dB under bärvågorna är långt över det.⁴ Det är skälet till att PIM anges i dBc relativt bärvågorna, och till att man bryr sig om detaljer som åtdragningsmoment, se Matarledningar.

Orsakerna till PIM som Hartman och Bell räknar upp är oxiderade eller smutsiga ytor, kontakter som inte dragits åt tillräckligt, lösa skruvar och nitar, metallflagor, dåligt förberedda avslutningar, och plåtbeslag eller rostiga ventilationsrör nära antennen. Gemensamt är dålig metallkontakt eller metall som sitter där den inte ska. PIM kan inte filtreras bort efteråt: produkten ligger i mottagarbandet, så ett mottagarfilter släpper igenom den. Det enda som hjälper är att inte skapa den.

Spektral återväxt, ACLR och DPD#

Hittills har signalerna varit rena toner. En digital signal med modulation, till exempel OFDM i mobilnät och Wi-Fi, är brusliknande och har toppar som ligger flera dB över medeleffekten. Förhållandet mellan toppeffekt och medeleffekt kallas PAPR (se Toppeffektfaktorn). I beräkningen nedan ligger den högsta toppen $10,5$ dB över medeleffekten.

När förstärkaren komprimerar topparna sprids energi utanför den kanal som signalen ska ligga i. Det kallas spektral återväxt (spectral regrowth). Det är intermodulation mellan alla frekvenser i signalen, och för en bred signal blir resultatet en bred skuldra på båda sidor om kanalen. Ett mått är ACLR (adjacent channel leakage ratio): effekten i angränsande kanaler dividerad med effekten i den egna, i dB.

Figur 5 visar en beräkning. En bandbegränsad brussignal med bandbredden 1/8 av samplingsfrekvensen matas genom en AM/AM-modell av Rapp, $y = x / (1 + (| x | / A_{s})^{2 p})^{1 / (2 p)}$ med $p = 2$ och mättnadsamplituden $A_{s}$ .⁵ Back-off är hur många dB under mättnad den genomsnittliga (effektiva) nivån ligger.

Figur 5. Spektral återväxt beräknad för en Rapp-modell (p = 2) och en simulerad brussignal. A: effektspektrum vid 9 dB back-off. B: ACLR (medel av de två angränsande kanalerna, samma bredd som huvudkanalen) mot back-off. Den ideala förvrängningen i förväg (DPD) är en minneslös invers av Rapp-kurvan som begränsas vid 97 % av mättnaden.

Tabell 3 visar några punkter ur beräkningen.

Back-off (dB)	ACLR utan DPD (dBc)	ACLR med DPD (dBc)
12	−49,3	under −100 (idealt)
9	−39,1	−51,9
6	−31,0	−33,6
3	−24,9	−24,5

Tabell 3. ACLR i den beräknade simuleringen. Vid 12 dB back-off klipps ingen topp, och den ideala DPD:n i modellen tar bort allt.

Lärdomar av tabellen:

Mer back-off ger renare signal, men sämre utnyttjande. Varje dB back-off innebär att förstärkaren arbetar längre ifrån sin mättnadsnivå, där den ger mest effekt, och verkningsgraden faller, se Förstärkarklasser. Det är därför linjäritet och verkningsgrad drar åt olika håll hos en effektförstärkare.
Hur mycket en sändare får läcka bestäms av regler och standarder. Gränserna anges som en spektrummask, se Spektrummasken. Siffran −45 dBc i exemplet är ett tänkt krav för att kunna räkna, inte en verklig gräns.

Förvrängning i förväg (digital predistortion, DPD) går ut på att göra signalen förvriden på motsatt sätt före förstärkaren, så att resultatet blir rakt. I figuren används den inversa Rapp-kurvan, $x = y / (1 - (| y | / A_{s})^{2 p})^{1 / (2 p)}$ . Vid 9 dB back-off sjunker ACLR från $- 39$ till $- 52$ dBc. Samtidigt ändras medelutnivån knappt alls. DPD tillåter med andra ord ett mindre back-off för samma renhet: ungefär 8 dB i stället för 11 dB för −45 dBc.

DPD har en gräns. Den kan bara göra kurvan rak upp till mättnaden. Toppar som kräver mer måste klippas, och i beräkningen gäller det ungefär 0,06 procent av proverna vid 9 dB back-off, 2,4 procent vid 6 dB och 15 procent vid 3 dB. Klippningen ger den breda botten i figur 5A och förklarar varför vinsten är liten eller noll vid 3 dB. Verkliga förstärkare har dessutom minne (förvrängningen beror på tidigare signal) och ändras med temperatur och spänning, så en verklig DPD är adaptiv och följer förstärkaren under drift. Man kan också minska topparna i signalen i förväg, så kallad crest factor reduction.

Att mäta linjäritet#

Standardmetoden är tvåtonstestet: två rena, lika starka signaler från två generatorer läggs ihop i ett nät som isolerar dem från varandra (annars uppstår intermodulation i generatorernas slutsteg), matas till det som ska mätas och betraktas i en spektrumanalysator, se Mätinstrument.

Välj ett tonavstånd som är betydligt större än analysatorns upplösningsbandbredd, så att produkterna syns som egna linjer.
Kontrollera analysatorn. Dess egen ingångsblandare är ickelinjär. Lägg in en extra dämpsats 10 dB före analysatorn: produkter som uppstår i analysatorn sjunker 20 dB relativt tonerna (2 dB per dB), medan produkter från det som mäts ligger kvar på samma nivå. Ändras avståndet till tonerna har man mätt analysatorn.
Två toner är 6 dB över en. Toppeffekten (PEP) för två lika toner är 4 gånger effekten för en enda ton, alltså 6 dB över en ton. Det är viktigt för SSB-sändare, där tvåtonstestet används och uteffekten anges som PEP, inte som effekt per ton.

Beräkna själv#

Koden nedan matar förstärkarmodellen med två toner på exakt valda FFT-fack, mäter IM3 vid några nivåer och räknar ut OIP3, och därefter kedjans IIP3 och dynamiska omfång för exemplet ovan.

import numpy as np

N = 16384
n = np.arange(N)
k1, k2 = 1000, 1100                       # tonerna ligger exakt på FFT-fack


def forstarkare(x, g=10.0, vs=5.0):
    """Mjuk begränsning: 20 dB förstärkning, mättnad vid 5 V."""
    return vs * np.tanh(g * x / vs)


def dbm(toppamplitud):
    """Toppamplitud i volt över 50 ohm omräknad till dBm."""
    return 10 + 20 * np.log10(toppamplitud)


for p_in in (-40, -30, -20, -10):
    a = 10 ** ((p_in - 10) / 20)          # toppamplitud per ton
    x = a * (np.cos(2 * np.pi * k1 * n / N) + np.cos(2 * np.pi * k2 * n / N))
    Y = np.abs(np.fft.rfft(forstarkare(x))) / (N / 2)
    p_ut, p_im = dbm(Y[k1]), dbm(Y[2 * k1 - k2])
    oip3 = p_ut + (p_ut - p_im) / 2
    print(f"{p_in:4d} dBm in: ut {p_ut:6.2f} dBm, IM3 {p_im:7.2f} dBm, OIP3 {oip3:5.2f} dBm")


def kaskad_iip3(steg):
    """steg = [(förstärkning i dB, IIP3 i dBm), ...] från antennen och bakåt."""
    inv, g_fore = 0.0, 1.0
    for g_db, ip3_dbm in steg:
        inv += g_fore / 10 ** (ip3_dbm / 10)
        g_fore *= 10 ** (g_db / 10)
    return -10 * np.log10(inv)


iip3 = kaskad_iip3([(15, -5), (-7, 10), (20, 0)])
mds = -174 + 10 * np.log10(2400) + 10
print(f"IIP3 totalt {iip3:.2f} dBm, DR3 {2 / 3 * (iip3 - mds):.1f} dB")

Utskriften visar OIP3 = 30,00, 30,00, 29,99 och 29,90 dBm för de fyra nivåerna, och IIP3 totalt $- 11,02$ dBm och DR3 79,5 dB.

Kontrollfrågor#

Två toner på 3,600 och 3,610 MHz går in i en förstärkare som inte är linjär. Var hamnar produkterna av tredje ordningen, och var femte ordningens?

Tredje ordningen: $2 \cdot 3,600 - 3,610 = 3,590$ MHz och $2 \cdot 3,610 - 3,600 = 3,620$ MHz. Femte ordningen: $3 \cdot 3,600 - 2 \cdot 3,610 = 3,580$ MHz och $3 \cdot 3,610 - 2 \cdot 3,600 = 3,630$ MHz. Produkterna ligger i ett rutnät med 10 kHz mellanrum utanför tonerna.

En förstärkare har OIP3 +25 dBm. Hur stark är produkten av tredje ordningen när varje ton har utnivån −5 dBm?

$I M 3 = 3 P_{u t} - 2 O I P 3 = 3 (- 5) - 2 (25) = - 65$ dBm. Det är 60 dB under tonerna, vilket också följer av $Δ_{I M} = 2 (O I P 3 - P_{u t}) = 2 (25 + 5) = 60$ dB.

Varför blir kedjans IIP3 sämre av att man sätter en förförstärkare med 20 dB förstärkning framför en blandare med IIP3 +10 dBm?

Blandaren ser en signal som är 20 dB starkare. Termen $G_{1} / {I I P 3}_{2} = 100 / (10 m W)$ gör att $1 / {I I P 3}_{t o t} \geq 10 m W^{- 1}$ , så kedjans IIP3 kan som mest vara $0,1$ mW, alltså −10 dBm: 20 dB sämre än blandarens +10 dBm, oavsett hur bra förförstärkaren själv är.

En mottagare har IIP3 +5 dBm och MDS −125 dBm. Vilket intermodulationsfritt omfång har den, och vid vilken nivå per ton når produkten brusgolvet?

${D R}_{3} = \frac{2}{3} (5 + 125) = 86,7$ dB. Nivån per ton är $M D S + {D R}_{3} = - 125 + 86,7 = - 38,3$ dBm. Kontroll: $3 (- 38,3) - 2 (5) = - 124,9$ dBm, alltså MDS.

Vad är skillnaden mellan blockering och korsmodulation?

Vid blockering sjunker den önskade signalens förstärkning (desensibilisering) av en stark signal på en annan frekvens, oavsett hur den är modulerad. Vid korsmodulation överförs den starka signalens modulation till den önskade, vilket kräver att den starka signalen har varierande amplitud. En FM-signal med konstant amplitud ger blockering men inte korsmodulation.

Varför går passiv intermodulation i en basstation inte att åtgärda med ett extra mottagarfilter?

Produkten uppstår i antennsystemet och ligger i mottagarens eget band, alltså inom filtrets passband. Filtret kan inte skilja den från en önskad signal. Åtgärden är att inte skapa den: rena kontakter, rätt åtdragningsmoment och inga rostiga metalldelar nära antennen.

Varför kan förvrängning i förväg (DPD) inte ge en förstärkare utan back-off?

DPD kan bara rätta till kurvan upp till mättnad. Toppar i signalen som kräver mer än förstärkaren kan ge måste klippas, och klippningen ger själv spektral återväxt. Dessutom har verkliga förstärkare minne och drift, så DPD kan inte rätta allt.

Härledningen av kaskadformeln för svag olinjäritet finns i Razavi och i Pozar. ↩
Analog Devices MT-012 (Walt Kester). Skälet är att en ADC saknar den mjuka kompression som en analog förstärkare har och i stället klipper hårt vid överstyrning. ↩
Uppgifterna om IEC 62037, två toner à 20 W och typiska specifikationer kommer från Hartman och Bell (Microwave Journal, 2013), som anger att standarden publicerades 1999 och uppdaterades i maj 2012. Standardens text har inte öppnats. Vilken version som gäller idag bör kontrolleras mot IEC. ↩
Brusgolvet beror på bandbredden, så −130 dBm är en riktpunkt och inte en allmän egenskap. ↩
Modellen introducerades av C. Rapp 1991 (DLR:s arkiv). Här används den bara för AM/AM, utan AM/PM och minne. Jämnhetsfaktorn $p = 2$ är vald för beräkningen och kommer inte från någon mätning. Beräkningen använder en bandbegränsad Gauss-lik signal av 32 768 komplexa frekvensfack i ett band om 1/8 av samplingsfrekvensen, och ACLR är medelvärdet, i dB, av förhållandet för den övre och den undre angränsande kanalen (lika breda som huvudkanalen), där effekten summerats i en rektangulär FFT över hela signalen. ↩

Källor och vidare läsning

Prentice Hall (2011). B. Razavi: RF Microelectronics, 2:a upplagan. Ickelinjäritet i serieutveckling, övertoner och intermodulation, 1 dB-punkten och IP3, kaskadformeln, desensibilisering och korsmodulation.
Wiley (2012). D. M. Pozar: Microwave Engineering, 4:e upplagan. Intermodulation, skärningspunkten för tredje ordningen, kaskad och dynamiskt omfång.
Artech House (2006). S. C. Cripps: RF Power Amplifiers for Wireless Communications, 2:a upplagan. Förstärkarens kompression, back-off och sambandet mellan linjäritet och verkningsgrad.
Cambridge University Press (2015). P. Horowitz och W. Hill: The Art of Electronics, 3:e upplagan. Praktisk behandling av distorsion, två-tonstest och dynamik i förstärkare och mottagare.
Analog Devices (2008). MT-012: Intermodulation Distortion Considerations for ADCs (Walt Kester, rev. A). ADC:er specificeras med SFDR och inte IP3, eftersom de klipper hårt vid överstyrning. Hämtad 25 oktober 2026.
Microwave Journal (2013). R. Hartman och T. Bell (Kaelus): PIM Test Power Levels for Mobile Communication Systems. Provning av passiv intermodulation med två toner à 20 W enligt IEC 62037, typiska specifikationer (−150 och −140 dBc), mottagarens brusgolv och orsaker till PIM. Hämtad 25 oktober 2026.
DLR (elib) (1991). C. Rapp: Effects of HPA-nonlinearity on a 4-DPSK/OFDM-signal for a digital sound broadcasting system. Ursprunget till den förstärkarmodell som kallas Rapp-modellen. Arkivposten har kontrollerats, men fulltexten har inte öppnats. Hämtad 25 oktober 2026.

Läs vidare

Citera den här sidan

Använd gärna kunskapsbanken som källa i rapporter och uppsatser. Ange alltid datum, eftersom regler och tilldelningar ändras.

APA 7

SRFA Kunskapsbank. (2026). Linjäritet, intermodulation och dynamik. Sveriges Radiofrekvensallokering. https://srfa.se/kunskap/radioteknik/linjaritet-och-intermodulation/

Harvard

Sveriges Radiofrekvensallokering (2026). Linjäritet, intermodulation och dynamik. SRFA Kunskapsbank. Tillgänglig: https://srfa.se/kunskap/radioteknik/linjaritet-och-intermodulation/ (hämtad 24 oktober 2026).

Kunskapsbanken är en sammanställning för utbildning och referens. Den ersätter inte gällande föreskrifter och ger ingen rätt att sända. Kontrollera alltid aktuella villkor hos PTS.